首先,让我们把积分写成:我们也可以用不同的变量来表示,比如用y:将两者相乘,我们可以得到:这里我们可以做一个简化处理。首先,我们注意到,根据福比尼的积分定理(Fubini’s theorem of integration),如果一个双积分有常数(或与变量无关的)极限,我们可以将两个积分的乘积合并为一个双积分,即:在这个的例子中是:现在,看一下指数项,我们注意到有平方和。根据勾股定理,们可以将另一个变量写为:其中r是三角形的斜边。在极坐标下,r是圆的半径。同样地,我们可以定义一个相对于正X轴的角度𝜃。利用这两个新变量,我们可以对积分进行变换。然而,这还不够。积分的极限肯定会改变,因为在笛卡尔坐标系中,积分的定义域是一个长为无穷大的矩形边(因为在x和y上从负无穷到正无穷积分),在极坐标中会是什么样子?那么,肯定也会有一个无限的域。然而,有一些限制:半径r根据定义被限制在[0,∞]内,因为半径不能是负的。其次,角度𝜃被限制在[0,2π]。因此,极坐标下的积分是不同的。另外需要注意的是,从直角坐标转换为极坐标时,无穷小的增量dx和dy也将发生变化。事实上,由于两者的乘积是一个 "无限小的矩形区域",当我们将这个矩形转换为极坐标时,我们应该得到:其中d𝜃是一个无穷小的弧长,dr是半径方向的无穷小变化。将所有这些结合起来,我们的积分就变成了:这里,我们可以用换元法求解内积分:得到:这就是I^2的值,所以现在为了得到我们想要的积分值,我们只需取两边的平方根,从而得到所需的结果: