揭开高斯积分的面纱,深入理解高斯积分及其计算,结果很简单

高斯积分在科学、统计学和概率论中经常出现。事实上,如果熟悉统计学中的正态分布(也被称为 "贝尔曲线"),那么你可能知道什么是高斯函数。
高斯积分本质上是高斯函数下的面积。本文将研究高斯函数下的总面积是多少,这意味着我们将计算一个无限域的积分,并将这个结果应用于高斯函数的多种变化。
最简单的高斯积分的形式是:
  • 式1:高斯积分结果
参数a用来控制高斯分布的 "宽窄 "程度。高斯分布的中心是x = 0,它有以下特性:a越小,高斯分布越“宽”,a越大,高斯分布越 "窄"。从这个结果来看,比较令人惊讶的是,总面积是:
我们也许会猜想它与a成反比,因为高斯分布的宽度会影响面积,但是为什么π会出现在这里呢?为了弄清楚这个问题,我们将从二维的角度来处理这个问题。

一个技巧:转换为极坐标

首先,让我们把积分写成:
我们也可以用不同的变量来表示,比如用y:
将两者相乘,我们可以得到:
这里我们可以做一个简化处理。首先,我们注意到,根据福比尼的积分定理(Fubini’s theorem of integration),如果一个双积分有常数(或与变量无关的)极限,我们可以将两个积分的乘积合并为一个双积分,即:
在这个的例子中是:
现在,看一下指数项,我们注意到有平方和。根据勾股定理,们可以将另一个变量写为:
其中r是三角形的斜边。在极坐标下,r是圆的半径。同样地,我们可以定义一个相对于正X轴的角度𝜃。利用这两个新变量,我们可以对积分进行变换。然而,这还不够。积分的极限肯定会改变,因为在笛卡尔坐标系中,积分的定义域是一个长为无穷大的矩形边(因为在x和y上从负无穷到正无穷积分),在极坐标中会是什么样子?
那么,肯定也会有一个无限的域。然而,有一些限制:半径r根据定义被限制在[0,∞]内,因为半径不能是负的。其次,角度𝜃被限制在[0,2π]。因此,极坐标下的积分是不同的。
另外需要注意的是,从直角坐标转换为极坐标时,无穷小的增量dx和dy也将发生变化。事实上,由于两者的乘积是一个 "无限小的矩形区域",当我们将这个矩形转换为极坐标时,我们应该得到:
其中d𝜃是一个无穷小的弧长,dr是半径方向的无穷小变化。将所有这些结合起来,我们的积分就变成了:
这里,我们可以用换元法求解内积分:
得到:
这就是I^2的值,所以现在为了得到我们想要的积分值,我们只需取两边的平方根,从而得到所需的结果:

扩展

我们还可以用不同的形式来研究高斯积分。例如,考虑:
这稍微有点复杂,但我们可以这样来求解:
也可以把它写成:
其中:
得到:
因此:
这里,我们可以做一个替换:
这样:
利用公式1的结果:
因此,结果是:
  • 方程2:形式为ax^2+bx的高斯积分
有趣的是,同样的过程也可以用于得到下面的结果:
  • 方程3:形式为ax^2+bx+c的高斯积分
如前所述,高斯积分有多种用途。其中最常见的是在统计学中的正态分布中,实际上一个连续随机变量X的点的分布是高斯分布:X的大多数随机样本将落在均值E[X]附近,方差Var[X]决定高斯分布的宽度或狭窄程度。因此,Var[X]越大,点的分布越广。
(0)

相关推荐