初中竞赛每日一题 第三百二十二题的解答
某国的硬币币值为 . 取款机中有每种币值的硬币各1000枚. 当有客户前来取款时, 取款机按照”每种币值的硬币每次最多给一枚”的原则来给付硬币. 现在有若干个客户前来取款, 他们所需提取的款项恰为1,2,3,4,5...(按这个顺序排列)的等差数列.
(1)求使得取款机不能正常给付的第一位顾客所取的款项.
(2)求此时取款机所缺的硬币币值.
(1)解: 显然的, 连续的任意2位顾客需要消耗1个币值为1的硬币, 连续的任意4位顾客需要消耗2个币值为2的硬币...连续的个顾客需要消耗个币值为的硬币.下面我们证明币值大的硬币所消耗的个数不超过币值小的硬币所消耗的个数.对任意正整数k≥2,我们考虑每个顾客所消耗的币值为和的硬币的情况.
显然, 前个顾客不需要币值为的硬币,但消耗了枚币值为的硬币.
第到第个顾客既消耗了一个币值为的硬币, 也消耗了一个币值为的硬币.
第到第个顾客各消耗了一个币值为的硬币, 但没有消耗币值为的硬币.
第个顾客两种硬币都没有消耗.
于是在这个过程中, 币值为的硬币的消耗量始终不少于币值为的硬币.
依次类推,在任意一个时刻, 币值大的硬币所消耗的个数不超过币值小的硬币所消耗的个数.
于是只需考虑币值为1的硬币何时耗尽即可.显然地,前2000个顾客恰好耗尽了所有币值为1的硬币.此时第2001个顾客的需要无法被满足.
(2)由于16|2000, 故所有币值为1,2,4,8的硬币此时均已告罄.
对币值为16的硬币, 每32枚硬币会消耗16枚, 故前1984位顾客消耗了992枚硬币.第1985到第1999位顾客均未消耗币值为16的硬币,第2000位顾客消耗了一枚,故一共消耗了993枚.于是此时币值为16的硬币未耗尽.由第(1)问的结论知, 币值大于16的硬币均未耗尽.
故此时有且仅有币值为1,2,4,8的硬币已耗尽.
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