自然哲学的数学原理，第五章引理17

前段时间我发了若干文章，介绍牛顿的《原理》关于尺规作圆锥曲线的命题。现在我将继续为大家分享其中的内容。需要提前说明的是，因为对于现代人来说，《原理》的表达方式非常难懂，我也不知道自己能给大家分享多少，只好弄懂一个命题就发一个命题。所以如果这个系列“中道崩殂”，那是一点也不奇怪的。另外因为自己水平有限，需要的前置知识又很多，我基本上就不给出论证过程了。

下面粗体字就是第一卷第五章引理 17（也是本章第一个命题）的内容。为了便于读者和原文对照，其中的字母一如原文，另以虚线标出圆锥曲线，释义是我的理解，其它文字在中文版原文基础上适当增减并调整语序而成。

如果由已知圆锥曲线上任一点 向其内接四边形 的四个边 、、、 以已知夹角作同样多的直线 、、、，每边对应一条直线，则由位于对边 、 上的矩形 与位于另二相对边 、 上的矩形 的比是给定的。

释义： 均为同一圆锥曲线上的点，、、、 与 、、、 的夹角是给定的，则 是定值。

情形 1： 三点共线，， 三点共线，且 。（图中 是 的中点，也是 的中点，其余各点见图自明，下同）

可以先对圆的情况进行证明，然后根据射影几何得出结论。而牛顿在这里给出的依据是阿波罗尼奥斯《论圆锥曲线》第三卷命题 17、19、21、23。注意，圆锥曲线平行弦的中点在一条直线上。

情形 2： 三点共线，且 ， 三点共线。

作 ，延长 至 ，作 。注意图中三角形 和 相似，所以 （其中 ，另外我这手头这个版本有一个笔误：把 写成了的 ）。同理，。结合前面的情形 1 不难得出结论。

情形 3：、、、 与 、、、 各不平行但所成交角一定。

过 作 ，。因为三角形 、、、 的各个角都是一定的，所以 、、、  也都一定，所以 以及 一定。由前面的情形， 一定，所以， 一定。