微积分传奇（3） | 缘起：交相辉映割圆术
作者：蒜泥学数学，山东理工大学数学与统计学院教师
交相辉映割圆术
在上一节里，我们已经把穷竭法原理说清楚了， 在这一节里，我们就举一个最简单的例子，来看一下穷竭法是如何起作用的．
定理 2.设圆面积为． 对任意小于的量，圆总有一个内接正多边形， 其面积满足．
欧多克索斯使用穷竭法原理证明了这个定理，它被收录在《几何原本》第十二卷中， 实际上是一个重要命题的证明的一部分． 那个重要命题我们等会再说，现在先看看如何证明这个定理．
为此，我们首先回顾一下穷竭法原理是怎么回事，它是这样一个结论：
【穷竭法原理】 设是一个正实数，是一个正实数数列，满足：
其中，表示数列的前项和；特别地，． 那么，对任意一个小于的正实数来说， 总存在一个下标，使得：当时，
把定理2和穷竭法原理的内容对照一下， 我们就不难发现，用穷竭法证明引理其实就是做这样一件事情：
对圆反复做切割，每次切下来一部分面积． 设第次切下来的面积为，这样就得到了一个正实数数列． 只要证明数列满足穷竭法原理的要求，那么，对任意一个小于的正实数，就存在一个下标， 使得．其中，是的前项之和， 也就是从第一次切割直到第次切割，从圆上所切下来的面积之和． 如果此时，所有这次切割所下来的图形恰好拼成圆的一个内接正多边形， 那么就是我们所要的内接正多边形，而就是我们所要的．
这个过程是不是看起来又是很眼熟？对，比欧多克索斯晚出生六百多年的中国著名数学家刘徽也有同样的想法，这就是著名的"割圆术"！
公元220年（注意：不是公元前），曾经雄踞东亚大陆数百年的汉王朝被曹操的儿子曹丕所灭，曹魏政权建立． 大约在五年之后，也就是公元225年，我的山东老乡刘徽出生． 到刘徽去世的时候，已经是西晋王朝晋武帝的太康元年了， 也就是公元280年，所以我们通常称刘徽是"魏晋时期"的数学家． 据史书记载，最迟到曹魏的景元四年，即公元263年，刘徽对我国西汉时期的数学著作《九章算术》做了注解， 也修改了其中的一些错误， 这就是著名的《九章算术注》．"割圆术"就来自于刘徽对《九章算术》所做的一个注解．
在《九章算术》的第一章《方田》记载了一种"圆田术"， 也就是"计算圆形田地的面积的方法"． 其中有这样一句话："半周半径相乘得积步"． 这句话是说：圆的面积等于周长的一半乘以直径的一半，也就是我们所熟悉的圆的面积公式． 而刘徽对这一句话做了大约1800字的注解． 这个注解就是我们今人耳熟能详的割圆术．
通俗来说，就是从圆的某个内接正多边形开始， 记它的面积为，先从圆上把割掉，这是第一次割圆；第一次割圆会剩下几个个小弓形，再从每个小弓形上割下一个内接等腰三角形， 记所割下的这些等腰三角形的面积之和为，这就是第二次割圆；以此类推，不断地割下去，每次割圆相当于将内接正多边形的边数翻倍；用刘徽的话说就是："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣"， 从而逼近圆的面积．
在割圆术这件事上，欧多克索斯和刘徽从思路到细节几乎一模一样， 二者唯一的差别只是：欧多克索斯从内接正方形开始， 而刘徽从内接正六边形开始． 由于二者实在是过于相似，我们没有必要重复叙述， 鉴于欧多克索斯的手段更倾向于演绎证明， 因此，下面我们叙述欧多克索斯的处理方法， 对于刘徽的相关工作，大家参考李文林老师撰写的《数学史概论》．
首先，欧多克索斯从圆的内接正方形入手， 开始构造正实数数列（设其前项和为，且)． 设是圆的内接正方形的面积． 那么是否满足穷竭法原理的要求呢？回答是Yes，下面我们就证明一下．
引理 1. 设圆面积为，圆的内接正方形的面积为． 那么，
证明：设该圆的外切正方形的面积， 如图所示，很容易证明． 另一方面，圆的外切正方形的面积显然大于圆的面积，即． 于是，．□
注意到，那么由上述引理可知． 可见，满足穷竭法原理对数列的要求．
下一步要构造．按照割圆术的想法， 就是要在第一次割圆之后所剩下的四个小弓形内分别割下四个内接的等腰三角形 然后令这四个小的等腰三角形的面积之和就是． 这样，前两次割圆所割下的总面积，也就是圆的内接正八边形的面积了． 问题是能否满足穷竭法原理的要求呢？也就是说是否成立呢？
这个其实很容易证明，因为对于由劣弧构成的弓形，如下引理总是成立的．
引理 2. 在圆上取一段劣弧，设是该弧中点． 记弓形面积为，三角形的面积为，则有．
证明：由于三角形内接于弓形，所以显然有，下面证明.以为一边作矩形，使得与劣弧切于， 记该矩形面积为．那么．□
于是，如果我们记那四个小弓形中的每一个的面积为，那么． 另一方面，如果我们记其中一个小弓形的内接等腰三角形的面积为， 那么由上面的引理可知，， 于是，，即
可见，能满足穷竭法原理的要求．
反复使用引理2，我们能证明：使用割圆术所构造的正实数数列是满足穷竭法原理的要求的， 即对所有的，总有
定理2.设圆面积为． 对任意小于的量，圆总有一个内接正多边形， 其面积满足．
证明：使用割圆术构造正实数数列． 由引理可知，满足． 反复使用引理2可知，当时，也总是满足． 于是是满足穷竭法原理（即定理1）的数列． 由穷竭法原理可知，对任意正实数，存在下标， 使得． 请注意，经过次割圆之后，所有割下的图形恰好构成了圆的一个内接正边形，记作． 那么就是所要找的圆内接正多边形，其面积就是所要找的．□
好了，这个定理总算证明出来．它蕴含着割圆术的合理性． 但是由于古代的中国和希腊的不同的数学传统，从这样同一个定理出发， 两者走向了不同的方向． 古代中国的数学虽然有一些演绎推理，但是更强调计算． 后来的祖冲之更是进一步借割圆术将圆周率推算到3.1415926到3.1415927之间． 而古希腊则更强调演绎推理．我们在本节开头就说了，使用定理2， 欧多克索斯证明了一个重要的命题，它是什么呢？下一节揭晓！