【干货】支持向量机原理(四)SMO算法原理
在SVM的前三篇里，我们优化的目标函数最终都是一个关于向量的函数。而怎么极小化这个函数，求出对应的向量，进而求出分离超平面我们没有讲。本篇就对优化这个关于向量的函数的SMO算法做一个总结。
1. 回顾SVM优化目标函数
我们首先回顾下我们的优化目标函数：$
我们的解要满足的KKT条件的对偶互补条件为：$
根据这个KKT条件的对偶互补条件，我们有：
由于,我们令，则有：
2. SMO算法的基本思想
上面这个优化式子比较复杂，里面有m个变量组成的向量需要在目标函数极小化的时候求出。直接优化时很难的。SMO算法则采用了一种启发式的方法。它每次只优化两个变量，将其他的变量都视为常数。由于.假如将 固定，那么之间的关系也确定了。这样SMO算法将一个复杂的优化算法转化为一个比较简单的两变量优化问题。
为了后面表示方便，我们定义
由于都成了常量，所有的常量我们都从目标函数去除，这样我们上一节的目标优化函数变成下式：
3. SMO算法目标函数的优化
为了求解上面含有这两个变量的目标优化问题，我们首先分析约束条件，所有的都要满足约束条件，然后在约束条件下求最小。
根据上面的约束条件，又由于均只能取值1或者-1, 这样在[0,C]和[0,C]形成的盒子里面，并且两者的关系直线的斜率只能为1或者-1，也就是说的关系直线平行于[0,C]和[0,C]形成的盒子的对角线，如下图所示：
由于的关系被限制在盒子里的一条线段上，所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题。不妨我们假设最终是的优化问题。由于我们采用的是启发式的迭代法，假设我们上一轮迭代得到的解是，假设沿着约束方向未经剪辑的解是.本轮迭代完成后的解为
由于必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中所在的线段的边界。那么很显然我们有：
而对于L和H，我们也有限制条件如果是上面左图中的情况，则
如果是上面右图中的情况，我们有：
也就是说，假如我们通过求导得到的，则最终的应该为：
那么如何求出呢？很简单，我们只需要将目标函数对求偏导数即可。
首先我们整理下我们的目标函数。
为了简化叙述，我们令
，
其中就是我们在第一节里面的提到的$
我们令
这样我们的优化目标函数进一步简化为：
由于，并且，可以得到用表达的式子为：
将上式带入我们的目标优化函数，就可以消除,得到仅仅包含的式子。
忙了半天，我们终于可以开始求了，现在我们开始通过求偏导数来得到。
整理上式有：
将带入上式，我们有：
我们终于得到了的表达式：
利用上面讲到的和的关系式，我们就可以得到我们新的了。利用和的线性关系，我们也可以得到新的。
4. SMO算法两个变量的选择
SMO算法需要选择合适的两个变量做迭代，其余的变量做常量来进行优化，那么怎么选择这两个变量呢？
4.1 第一个变量的选择
SMO算法称选择第一个变量为外层循环，这个变量需要选择在训练集中违反KKT条件最严重的样本点。对于每个样本点，要满足的KKT条件我们在第一节已经讲到了：
一般来说，我们首先选择违反这个条件的点。如果这些支持向量都满足KKT条件，再选择违反 和 的点。
4.2 第二个变量的选择
SMO算法称选择第二一个变量为内层循环，假设我们在外层循环已经找到了, 第二个变量的选择标准是让有足够大的变化。由于定了的时候,也确定了，所以要想最大，只需要在为正时，选择最小的作为， 在为负时，选择最大的作为，可以将所有的保存下来加快迭代。
如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降， 可以采用遍历支持向量点来做,直到目标函数有足够的下降， 如果所有的支持向量做都不能让目标函数有足够的下降，可以跳出循环，重新选择
4.3 计算阈值b和差值
在每次完成两个变量的优化之后，需要重新计算阈值b。当时，我们有
于是新的为：
计算出为：
可以看到上两式都有，因此可以将用表示为：
同样的，如果, 那么有：
最终的为：
得到了我们需要更新:
其中，S是所有支持向量的集合。
好了，SMO算法基本讲完了，我们来归纳下SMO算法。
5. SMO算法总结
输入是m个样本,其中x为n维特征向量。y为二元输出，值为1，或者-1.精度e。
输出是近似解
1)取初值
2)按照4.1节的方法选择,接着按照4.2节的方法选择，求出新的。
3)按照下式求出
4)利用和的关系求出
5)按照4.3节的方法计算和
6）在精度e范围内检查是否满足如下的终止条件：
7)如果满足则结束，返回,否则转到步骤2）。
SMO算法终于写完了，这块在以前学的时候是非常痛苦的，不过弄明白就豁然开朗了。希望大家也是一样。写完这一篇， SVM系列就只剩下支持向量回归了，胜利在望！
2.机器学习原来这么有趣！【第二章】：用机器学习制作超级马里奥的关卡
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