初二奥数精讲——第12讲 应用问题（一）

一、知识点解析

1. 基本知识

解应用问题的步骤：

（1）将问题中的每一个条件都用一个等式表示。

（2）在这些等式中选择一个量为未知数，利用若干等式将其他量都用未知数表出。

（3）利用剩下的一个等式（称为主关系）列方程。

（4）解方程。

（5）答题。

常用关系：

路程=时间×速度；

顺流速度=航速 + 水速，逆流速度=航速 - 水速；

完成工作总量=工作时间×工作效率（单位时间内完成的工作量，即进度）；

溶液（混合物）=溶质+溶剂；

百分比浓度=溶质/溶液 = 溶质/（溶质+溶剂）；

物品总数=参与分配单位数×每个单位所分物品数；

盈利=售价-成本价；

盈利率（盈利百分比）=盈利/成本=（售价-成本）/ 成本；

增长数=原计划数×增长率；

2. 基本方法

如何设未知数，设未知数的原则，是要使其他的量易于用含未知数的式子表出。由此可知，在公式A=B×C中，当知道其中一个因数，比如C=k，则应选择另一个因数B为未知数x，这样，量A则易用于x表示：A=kx.

如何建立方程：先确定问题中含有的所有变量，再建立这些变量间的所有等量关系，包括题目条件直接给出的和问题的实际意义隐含的，再根据设未知数的原则，确定一个（或几个）变量为未知数，然后利用所列等式将其他变量用未知数表示。最后将所得的表达式代入剩下的一个等式即得到方程。

3. 基本问题

单运动体的形成问题（改变形成计划问题）：注意两种不同方式行走相同的路程。

双运动体的形成问题（追及问题）：注意两运动体行走不同路线所花时间相等或者注意两种运动体在不同时间内行走的路程相等。

工程问题：注意寻找单位时间内完成的工作量。

浓度（密度）问题：一是注意浓度改变时可能溶质不变（在溶液中添加溶剂）或者溶剂不变（在溶液中添加溶质）。二是注意“倒出”某种浓度的溶液中含有多少溶质。

分配问题：注意同样数量的物品按不同方式进行分配。

盈利、增长率问题：设原有数位A，每时段的增长率为x，则经过k个时段后得到A(1+x)^k。

数字问题：关键是将自然数用各位上的数码为系数的关于10的幂的多项式形式表示。

牛吃草问题：关键是计算每头牛在单位时间单位面积的实际吃草量。

这部分主要考察学生的应用题的了解及掌握。应用题是代数部分的综合应用，这部分题型种类繁多，具有其自身的解题特点，会融合实际问题、整数等多种知识点，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

一船逆水而上，以5米/秒的速度匀速前进，水流速度为2米/秒。船上一人不慎将一件物品掉入水中，幸好物品浮在水面上。当那人发现时，船已行驶了3分钟。他随机通知船在发现地掉头，时间又过了两分钟。假定船一直是按原速前进，问：再过多久，船才能追上所掉的物品？

分析：本题的条件所含的等量关系：

物品冲走的路程+船逆水行驶3分钟的路程=船回追的路程

物品冲走的时间=船船回追的时间+（3+2）×60（秒）。

隐含的等量关系有：路程=时间×速度。

注：可借助图像更加明了。

解答：

设再过x分钟船追上所掉的物品，则

[(3+2)×60+60x]×2+180×（5-2）=60x×（5+2）.

解得x=3.8.

答：再过3.8分钟，船能追上所掉的物品。

例2

一汽船顺流中航行46千米和在逆流中航行34千米共用去的时间，恰好等于它在静水中航行80千米用去的时间，已知水流速度是每小时2千米，求汽船在静水中的速度。

分析：本题的条件所含的等量关系：

船顺流航行的速度=船静水航行的速度 + 2

船逆流航行的速度=船静水航行的速度 – 2

顺流46千米的时间+逆流34千米的时间=静水航行80千米的时间

隐含的等量关系有：航行路程=航行时间×航行速度。

如果设船静水中的速度为未知数x，则借助上面4个关系式得到关于x的方程。

解答：

设船静水中的速度为x千米/小时，由题意得

解得x=40/3 （千米/小时）。

答：船在静水中的速度为40/3千米/小时。

例3

甲、乙两人骑车同时从A、B两地出发，相向而行，甲每小时比乙多走2千米。2小时后，甲、乙还相距36千米。再经过2小时，甲、乙迎面相遇后又相距36千米，求A、B两地的距离。

例4

一块行走准确的时钟，在4点与5点之间，分针与时针成一条直线，但不重合。问此时的时间是多少？

例5

小王骑自行车在环城公路上匀速行驶，每隔6分钟有一辆公共汽车从对面向后开过，每隔30分钟又有一辆公共汽车从后面向前开过。若公共汽车也是匀速行驶，且不计乘客上下车的时间，那么公交站每隔多少分钟开出一辆公共汽车？