邹生书——从一个题目管窥立体几何面面垂直的向量证法

湖北阳新县高级中学      邹生书

  在立体几何线线、线面、面面的平行和垂直的证明中，面面垂直是重中之重，是立体几何考查的重点难点和热点。本文仅从一个典型题目的解法来管窥立体几何面面垂直的向量证法，与读者朋友交流分享。

一、题目与解法

题目：如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，

PC＝2,在四边形ABCD中,∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，

点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．

求证：

(1)CM∥平面PAD；

(2)平面PAB⊥平面PAD.

(2)方法一：法向量垂直推出面面垂直

点评：这种方法在建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量互相垂直即可。方法特点是以算代证，就是运算量有点大，算的多想的少。相反，多思少算。我们可以用面面垂直的判定定理,通过线面垂直来证明面面垂直。思考在其中的一个平面内找一条直线与另一个平面垂直，这条直线往往与这两个平面的交线相关，由面面垂直的性质定理知道，如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线必与另一个平面垂直。两线垂直问题又常常运用等腰三角形底边上的中线以是底边的高来获得。对于本题在这种思路的引领下我们有如下两种解法。

方法二：线面垂直推出面面垂直（一）

方法三：线面垂直推出面面垂直（二）

二、配套练习：

如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，

∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，

平面PBC⊥底面ABCD.求证：

(1)PA⊥BD；

(2)平面PAD⊥平面PAB.

三、思维升华，方法小结：

(1)用向量证明平行的方法

①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量．

②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量．

(2)用向量证明垂直的方法

①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直．

②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．

③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直，或在其中一个平面内找一条直线，证明这条直线的方向量与另一个平面垂直.