《四元玉鑑》“撥換截田”弧田弦矢之問﹝6﹞

《四元玉鑑》“撥換截田”弧田弦矢之問﹝6﹞

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：本文之問取自《四元玉鑑》之“撥換截田”門。而本文所涉及者乃弧田之矢、弦及面積，而弧田之近似面積公式乃主題。

關鍵詞：弧田、矢積、截弦、截矢

本文之問取自《四元玉鑑》之“撥換截田”門。 所謂“撥換截田”乃指從一段非正方形之田截取其中一部分或幾部分所衍生之數學問題。

“撥換截田”共十九問，以下為該門其中三問，而本文所涉及者乃弧田之矢、弦及面積，而弧田之近似面積公式乃主題，此公式在以下三問中廣泛應用。

(1)

今有弧田一段，弦長七十步，矢闊二十五步。今從弧背復截弧矢積二十六步，問：截弦、矢各幾何？

答曰：截弦二十四步，截矢二步。

術曰：先求得圓徑七十四步。立天元一為截矢，如積求之得二千七百四為益實，一百四為從上廉，二百九十六為從下廉，五為益隅，三乘方開之，得截矢二步。自之，以減倍積，餘以矢除之，即弦，合問。

解：

若 ABC為弧田﹝今稱之為“弓形”﹞，其弧形又稱為弧背。BD 為矢，AC 為弦，BD 垂直 AC，設 BD = v，AC = c，古人以

(cv + v²)作為弧田面積之近似值。

以下為弧田弦矢圖及弧田面積公式圖：

弧田面積 ABC =

(cv + v²)之公式可觀察上圖而得，但此面積之誤差極大。

cv 顯然為等腰 ΔABC 之面積，但尚欠 AB 及 BC 兩小弧﹝弓形﹞之面積﹝以 AB 及 BC 為弦﹞，此兩面積之和以

v² 作為近似值，即矢平方 BEFD 之半，亦即直角 ΔDEF 之面積。

下圖為本文之截弦、截矢圖：

另一近似值亦宜留意：若 D 為圎之直徑，則 2D=

+ 2v。

本題之

+ 2v =

+ 2 × 25 = 98 +50 = 148，即 2D = 148，D = 74。半徑為 37﹝步﹞。

本題之已知條件是筭出圓之半徑，有圓之半徑，即可列出下文二方程式。以下為半徑弦矢圖：

依上文所用之符號，從上圖可知句股定理 OA² – OD² = AD²，即：

37² – (37 – v)²=

-------------(1)

化簡 (1) 得 4(1369 – 1369 + 74v– v²) = c²

4(74v – v²)= c²

2√(74v – v²) = c---------------------(2)。

又依題意及弧田面積公式可知：

(cv + v²)= 26 --------------------- (3)

cv + v²= 52

以 (2) 式代入得 2v√(74v – v²) + v²= 52

2v√(74v – v²) = 52 – v²

4v²(74v –v²) = v⁴ – 104 v² + 2704

296 v³ – 4v⁴= v⁴ – 104 v² + 2704

– 5v⁴ + 296 v³+ 104 v² – 2704 = 0 -----------------------------------------(4)

以上 (4) 式即《四元玉鑑》所云：

得二千七百四為益實，一百四為從上廉，二百九十六為從下廉，五為益隅。

以下為式 (4) 之係數：

v 冪	v4	v3	v2	v0 常數
係數	– 5	+ 296	+ 104	– 2704
古稱	益隅	從下廉	從上廉	益實
正負	益﹝負﹞	從﹝正﹞	從﹝正﹞	益﹝負﹞

“三乘方開之”，即解一元四次方程式。

以下為本題之傳統開方法：

先設：f(v) = –5v⁴ + 296 v³ + 104 v² –2704，以 v = 0、10 代入得：

f(0) = – 2704

f(10) = – 50000 + 296000 + 10400 – 2704 > 0。

因 f(0) 與 f(10) 變號，故 v 必介於 0 與 10 之間，即v 為個位數。今以 v = 1、2、… 代入直至變號為止，得：

f(1) = – 5 + 296 + 104 – 2704 = – 2309，

f(2) = – 5 × 16 + 296 × 8 + 104 × 4 – 2704 = 0，

即 v = 2 為 (4)式 – 5v⁴ + 296 v³+ 104 v² – 2704 = 0 之解。

求弦 c，c = 2√(74v – v²)= 2√(74 × 2 – 4) = 2√144= 2 × 12 = 24。

《四元玉鑑》曰：

自之，以減倍積，餘以矢除之，即弦。

以上即：面積 =

(cv+ v²)

26 =

(cv + v²)

52 = 2c + 4

48 = 2c

c = 24。

答：截弦 24 步，截矢 2 步。

(2)

今有圓田一段，周二百六十七步。今從邊截一弧，計積一千三百一十二步中半步，問：截弦、矢各幾何？

答曰：截矢二十五步，截弦八十步。

術曰：立天元一為截矢，如積求之得六百八十九萬六百二十五為正實，五千二百五十為益上廉，三百五十六為益下廉，五為正隅，三乘方開之，得截矢，合問。

解：

設 D 為圓直徑，π 取古率 3，則 3D = 267，D = 89， 即半徑 =

= 44

﹝步﹞。弧田面積 ABC 為1312

方步。“中半”即

。

仍用上題之半徑弦矢圖：

從上圖可知句股定理 OA² – OD² = AD²，即：

(

)² – (

– v)² =

-------------------------------------------(1)

4(

–

+ 89v – v²) = c²

4(89v – v²) = c²

2√(89v – v²) = c。

又依題意及弧田面積公式可知：

(cv + v²)= 1312

=

------------------------------------(2)

cv + v² = 2625

cv = 2625 – v²

c²v² = (2625 – v²)²

4v²(89v – v²) = 6890625 – 5250v² + v⁴

356v³ – 4v⁴ = 6890625 – 5250v² + v⁴

5v⁴ – 356v³– 5250v² + 6890625 = 0 -------------------------------(3)

以上 (3) 式即《四元玉鑑》所云：

得六百八十九萬六百二十五為正實，五千二百五十為益上廉，三百五十六為益下廉，五為正隅。

以下為式 (3) 之係數：

v 冪	v4	v3	v2	v0 常數
係數	+ 5	– 356	– 5250	+ 6890625
古稱	正隅	益下廉	益上廉	正實
正負	﹝正﹞	益﹝負﹞	益﹝負﹞	﹝正﹞

“三乘方開之”，即解一元四次方程式。

以下為本題之傳統開方法：

先設：f(v) = 5v⁴ –356v³ – 5250v² + 6890625，以 v = 10、50、100 代入得：

f(10) = 50000– 356000 – 525000 + 6890625 > 0

f(50) =31250000 – 44500000 – 262500 + 6890625< 0

f(100) = 500000000– 356000000 – 52500000 + 6890625 > 0。

因 f(10) 與 f(50) 變號，故 v 必介於 10 與 50 之間，亦有一根介於 50 與100 之間。即 v 為十位數。今以 v = 20、30 代入試之，得：

f(20) = 800000– 2848000 – 2100000 + 6890625 > 0，

f(30) = 4050000– 9612000 – 4725000 + 6890625 < 0，

因 f(20) 與 f(30) 變號，故 v 必介於 20 與 30 之間，今取20 之數，又設  v = 20 + v₁ ，其中 1 ≦ v₁ ≦ 9。故式 (3) 可寫成：

5(20+ v₁)⁴ – 356(20 + v₁)³ – 5250(20 + v₁)² + 6890625 = 0

左方5(20 + v₁)⁴ – 356(20 + v₁)³ – 5250(20 + v₁)² + 6890625

= 5(v₁⁴+ 80v₁³ + 2400v₁² + 32000v₁ +160000) – 356(v₁³+ 60 v₁² + 1200v₁ + 8000) – 5250(v₁²+ 40v₁ + 400)+ 6890625

= 5v₁⁴+ 400v₁³ + 12000v₁²+ 160000v₁ + 800000 – 356v₁³ – 21360v₁² – 427200v₁ – 2848000 – 5250v₁² – 210000v₁– 2100000 + 6890625

=5v₁⁴ + 44v₁³ –14610v₁² – 477200v₁ + 2742625

=f(v₁)。

今以 v₁ = 5 ﹝即 2742625 之因子﹞代入試之：

f(5) = 5 × 5⁴ + 44 × 5³ – 14610 × 5² – 477200 × 5 + 2742625 = 0。

故v₁ = 5 為方程式 f(v₁) = 0 之解，

所以 v = 20 + 5 = 20 + 5 = 25。

求弦 c，c = 2√(89v – v²) = 2√(2225 – 625) = 2√1600 = 2 × 40 = 80。

答：截矢 25 步，截弦 80 步。

(3)

今有圓田一段，徑九十步。甲、乙共截一弧，其甲從邊復截一弧，以次給乙。甲截積二百八十三步二分步之一，乙截積五百二十六步二分步之一。問：甲、乙各截弦、矢幾何？

答曰：甲截矢九步，截弦五十四步；乙截矢九步，截弦七十二步。

術曰：立天元一為甲截矢，如積求之得三十二萬一千四百八十九為正實，一千一百三十四為益上廉，三百六十為益下廉，五為正隅，三乘方開之，得甲截矢九步。列甲積，通分內子，內減矢冪。餘以矢除之，即甲截弦。

又立天元一為共截矢，如積求之得二百六十二萬四千四百為益實，三千二百四十為從上廉，三百六十為從二廉，五為益隅，三乘方開之，得共截矢一十八步。

內減甲截矢，餘即乙截矢。又共矢自之，以減甲、乙並積通分內子之數，餘以共矢而一，即乙截弦，合問。

解：

圓田直徑 90 步，即半徑 45 步。以下為甲乙截弧田圖：

弧田 AEB 屬甲，面積 283

方步， 截頭弧田 ABCD 屬乙，面積 526

方步，分別求甲與乙之弦、矢，即AB 與 FE；DC 與 GF。今設
AB = c ，FE = v，DC = d ，GE = u 。

今先求甲之弦 c 及矢 v：

45² – (45 – v)²=

-------------------------------------------(1)

4(2025 – 2025 + 90v – v²) = c²

4(90v – v²) = c²

2√(90v – v²) = c。

又依題意及弧田面積公式可知：

(cv + v²)= 283

=

------------------------------------(2)

cv + v² = 567

cv = 567 – v²

c²v² = (567 – v²)²

4v²(90v – v²) = 321489 – 1134v² + v⁴

360v³ – 4v⁴ = 321489 – 1134v² + v⁴

5v⁴ – 360v³– 1134v² + 321489 = 0 ----------------------------(3)

以上 (3) 式即《四元玉鑑》所云：

得三十二萬一千四百八十九為正實，一千一百三十四為益上廉，三百六十為益下廉，五為正隅。

以下為式 (3) 之係數：

v 冪	v4	v3	v2	v0 常數
係數	+ 5	– 360	– 1134	+ 321489
古稱	正隅	益下廉	益上廉	正實
正負	﹝正﹞	益﹝負﹞	益﹝負﹞	﹝正﹞

“三乘方開之”，即解一元四次方程式。

以下為本題之傳統開方法：

先設：f(v) = 5v⁴ –360v³ – 1134v² + 321489，以 v = 0、10 代入得：

f(0) =321489 > 0

f(10) =50000 – 360000 – 113400 + 321489 = – 101911 < 0

因 f(0) 與 f(10) 變號，故 v 必介於 0 與 10 之間，即 v 為個位數。今以 v = 3、9 ﹝即321489 之因數﹞ 代入試之，得：

f(9) = 5v⁴– 360v³ – 1134v² + 321489

= 5 × 9⁴ – 360 × 9³– 1134 × 9² + 321489

= 0。

故v = 9 為方程式 f(v) = 0 之解，

求弦 c，c = 2√(90v – v²) = 2√(810 – 81) = 2√729 = 2 × 27 = 54。

答曰：甲截矢 9 步，截弦 54 步。

再求乙之弦 d 及矢 u：

45² – (45 – u)²=

-------------------------------------------(1)

4(2025 – 2025 + 90u – u²) = d²

4(90u – u²) = d²--------------------------------------------------- (2)

2√(90u – u²) = d。

弧田 DEB 之面積為 283

+ 526

= 810，依題意及弧田面積公式可知：

(du + u²)= 810 ------------------------------------------------- (3)

du + u² = 1620

du = 1620 – u²

d²u² = (1620 – u²)²

以 (2) 式代入上式得 4u²(90u – u²) = 2624400 – 3240u² + u⁴

360u³ – 4u⁴ = 2624400 – 3240u² + u⁴

–5u⁴ + 360u³+ 3240u² – 2624400 = 0 ---------------------------(4)

以上 (3) 式即《四元玉鑑》所云：

得二百六十二萬四千四百為益實，三千二百四十為從上廉，三百六十為從二廉，五為益隅。

以下為式 (4) 之係數：

u 冪	u4	u3	u2	u0 常數
係數	– 5	+ 360	+ 3240	– 2624400
古稱	益隅	從二廉	從上廉	益實
正負	益﹝負﹞	從﹝正﹞	從﹝正﹞	益﹝負﹞

“三乘方開之”，即解一元四次方程式。

以下為本題之傳統開方法：

先設：f(u) = –5u⁴ +360u³ + 3240u² – 2624400，以 u = 10、20 代入得：

f(10) = –50000+ 360000 + 324000 – 2624400 < 0

f(20) = –800000+ 2880000 + 1296000 – 2624400 > 0。

因 f(10) 與 f(20) 變號，故 u 必介於 10 與 20 之間，今取10 之數，又設  u = 10 + u₁ ，其中 1 ≦ u₁ ≦ 9。故式 (4) 可寫成：

–5(10 + u₁)⁴ + 360(10 + u₁)³ + 3240(10 + u₁)² – 2624400 = 0

左方 –5(10 + u₁)⁴ + 360(10 + u₁)³ + 3240(10 + u₁)² – 2624400

= –5(u₁⁴+ 40u₁³ + 600u₁² + 4000u₁ + 10000) + 360(u₁³ + 30 u₁²+ 300u₁ + 1000) + 3240(u₁² + 20u₁+ 100) – 2624400

= –5u₁⁴ –200u₁³ – 3000u₁² – 20000u₁ – 50000 + 360u₁³ + 10800u₁² + 108000u₁ + 360000 + 3240u₁² + 64800u₁+ 324000 – 2624400

=–5u₁⁴ + 160u₁³ +11040u₁² + 152800u₁ – 1990400

=f(u₁)。

今以 u₁ = 2、4、5、8﹝即 1990400 之因子﹞代入試之，得：

f(8) = –5 × 8⁴ + 160 × 8³ + 11040 × 8² +152800 × 8 – 1990400 = 0。

故u₁ = 8 為方程式 f(u₁) = 0 之解，

所以 u = 10 + 8 = 10 + 8 = 18。

大截弦 d，d = 2√(90u – u²) = 2√(1620 – 324) = 2√1296 = 2 × 36 = 72。

《四元玉鑑》曰：

內減甲截矢，餘即乙截矢。又共矢自之，以減甲、乙並積通分內子之數，餘以共矢而一，即乙截弦。

乙截矢=18 – 9 = 9 ﹝步﹞。

9 + 9 = 18 是為“共矢”，283

+ 526

= 810 是為“甲、乙並積”。

共面積 =

[d(9 + 9) + (9 +9)²]

810 =

(18d + 18²)

1620 = 18d +324

1296 = 18d

d = 72。

答：乙截矢 9 步，截弦 72 步。