2016—2021 数列考查特点分析 6—从实际问题抽象出数列模型

1.（2017 全国 2 第 3 题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（  ）

点评：注重从实际问题情景中识别数列模型，并利用相关知识求解，同时也渗透了数学文化。

3.（2020 全国 2 卷第 4 题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) （  ）

【点评】从实际问题情境中抽象出数列模型，进入数学内部，利用数列知识解决。

4.（2019 全国 1 卷第 21 题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得  1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得  1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X．

【点评】看似很复杂，实则简单。在实际问题情境中，数列知识与概率相结合。这在清北的自主招生或竞赛题中都有所见，此题可以视为 2011 清华大学七校联考自主招生考试中的 15题的改编。

变式2：（2012全国高中数学联赛第8题）某情报站有 A , B , C , D 四种互不相同的密码，每 周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能 地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是__．（用最简分数表示）

参考：《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》