几个著名的不等式公式
在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式。
三角形内角的嵌入不等式
三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：
算术-几何平均值不等式
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设
为 n 个正实数，它们的算术平均数是
，它们的几何平均数是
。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数
，总有：
等号成立当且仅当
。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在 n = 4 的情况，设:
， 那么
可见
。
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的 n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明：
命题Pn：对任意的 n 个正实数
，
1. 当 n=2 时，P2显然成立。
2. 假设Pn成立，那么P2n成立。证明：对于2n 个正实数
，
3. 假设Pn成立，那么Pn-1成立。证明：对于n - 1 个正实数
，设
，
，那么由于Pn成立，
。
但是
，
，因此上式正好变成
综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数
，命题Pn都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k，命题
都成立。因此对任意的
，可以先找 k 使得
，再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的：
由对称性不妨设xn+1是
中最大的，由于
，设
，则
，并且有
。
根据二项式定理，
于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明：
在 n 的情况下有不等式
和
成立，于是：
所以
，从而有
。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数
实际上等于
，因此算术-几何平均不等式等价于：
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设
和
为正实数，并且
，那么：
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵
设
，
，那么有：
也就是说：对 k 个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f，都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成
后，将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式是说：对任意整数
，和任意实数
，
；
如果
是偶数，则不等式对任意实数x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数
和任意实数
，
，有严格不等式：
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数
时成立，那么
下面是推广到实数幂的版本：如果x > − 1，那么：
若
或
，有
；
若
，有
。
这不等式可以用导数比较来证明：
当r = 0,1时，等式显然成立。
在
上定义f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中
， 对x微分得f'(x) = r(1 + x)r-1 − r， 则f'(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：
1. 0 < r < 1，则对x > 0，f'(x) < 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得
。
2. r < 0或r > 1，则对x > 0，f'(x) > 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0，故得
。
在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。
下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r > 0，都有
。
佩多不等式
几何学的佩多不等式，是关联两个三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：
，
等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；
也就是a / A = b / B = c / C。
证明
由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为
16f2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a) = (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)
16F2 = (A + B + C)(A + B − C)(A − B + C)(B + C − A) = (A2 + B2 + C2)2 − 2(A4 + B4 + C4),
再由柯西不等式，
16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2
= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2)
于是，
= A2(b2 + c2 − a2) + B2(a2 + c2 − b2) + C2(a2 + b2 − c2) ，命题得证。
等号成立当且仅当
,也就是说两个三角形相似。
ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合
几何证法
三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2，使得λA = a，几何意义是将第二个三角形取相似。
设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。
考虑 AA' 的长度。由余弦公式，
将
,
代入就变成：
两边化简后同时乘以
，并注意到a=x，就可得到原不等式。
等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。
内斯比特不等式
内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数a，b，c，都有：
证明
此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：
，
移项得出：
，
整理左式：
，
。
因而不等式得证。
埃尔德什－莫德尔不等式
如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍。
在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。
埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。
历史
该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。
证明
如下图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z，线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：
一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。
首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四点共圆且OA为直径，因此线段
（角A为顶点A对应的内角）。
过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，
，
。于是：
另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此：
类似地，还有：
，
三式相加，得到：
根据均值不等式，
，等等，于是最终得到：
这就是埃尔德什-莫德尔不等式。
外森比克不等式
设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）
成立。当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。
证明
除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。
两边取平方根，即得证。
舒尔不等式
舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：
当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。
证明
由于不等式是对称的，我们不妨设
。则不等式
显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理，即得舒尔不等式。
推广
舒尔不等式有一个推广：
假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：
2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：
考虑
，其中
，而且要么
，要么
。设
，并设
要么是凸函数，要么是单调函数。那么：
当x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = mr时，即化为舒尔不等式。
以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。