有限元方法概述

前面已经做了十个小例子，对ANSYS进行静力学分析有一个大致的了解，想着差不多要了解一点关于有限元的基础入门知识了。接下来的时间先学习下有限元的基础理论，然后接着谈谈这一部分理论是如何和软件扯上关系的。因为之前看过一小部分，总是看完前面，后面就忘，所以就简单记录下吧。

有限元方法是什么？

• 有限元方法：Finite Element Method，缩写FEM；有限单元分析；Finite Element Analysis，缩写FEA。

• 它是一种解方程的方法，通常解的是偏微分方程（PDE）。

比方说我们以前学过的高斯消元法，也是解方程，只不过解的是代数方程组，而这里解的是偏微分方程而已。

• 它是一种数值计算方法，得到的是数值解（近似解），与之相对的是解析解（理论解，精确解）。

这里包括两层意思：它是数值计算方法的一种，意思是数值计算还有其它方法呗；它得到的是近似解，因此它是有误差存在的。微积分计算常会听说这么一句话“可积而不可求积”，意思是它的原函数是存在的，但是你没办法以有限简单项进行表示，很多时候都是用级数表示的，不可求积是因为复杂性。偏微分方程，简单的可以获得它的解析解（理论解），而复杂的你没有办法有效的获得解析解，甚至计算不了。因而为了计算的效率，我们放弃部分求解精度，采用近似计算方法，获得方程的近似解，有限元方法是诸多数值计算方法当中的一种。

• 它是基于变分原理和加权余量法发展起来的。

有限元法的基本思想

首先将求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点相互连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程常称为离散化。其次，在每个单元内，选择一种简单近似函数来分片逼近未知单元内的位移分布规律，即分片近似，并按弹性理论中的能量原理（或用变分原理）建立单元节点力和节点位移之间的关系。最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个节点的位移。

关键字：求解域、离散、有限个、单元、节点、位移分布、分片近似、变分原理

有限元法能做什么？

• 增加产品和工程的可靠性，如可靠性设计，降低产品失效的可能性；

• 在产品设计阶段发现潜在的问题，数值计算可以校核产品结构的性能甚至是功能，对于存在的问题可以及时通过修正结构的设计，发现并解决问题；

• 优化设计方案，降低成本，如结构的轻量化设计，保证结构性能前提下，减少产品材料的开销，即削减了产品成本；

• 模拟试验方案，减少试验次数，计算机可以设置理想的模拟环境，转换实验参数方便，可以多次数值模拟删选，少数的物理试验；

总之：没有出现问题之前就发现问题，发现问题就解决问题；如果产品可以稳定使用，那就让它更好，在电脑上就完成这两项任务。

有限元常做什么分析？

不同的软件可以实现不同的功能。主要分为通用商业有限元软件和专用有限元分析，通用适用范围比较广，如ANSYS、Hyperworks、Abaqus等。软件可能以及能够做的分析：声光热力电磁流藕。分别对应：声学分析、光学分析、温度场、结构场、电场、磁场、流场、耦合场。能做，不仅仅能做这几个，还有很多，但是比较常见的就是这么多。

• 声学分析

声音我们可能有想要的，有不想要的，想要的声音我们希望它质量更高，不想要的声音希望它被消除或者得到抑制。扬声器是产生声音的，希望它产生我们想要的抑制不想要的；工作场所，希望建筑可以吸收噪声，住房希望它隔绝噪声。

• 温度场

你也许想要知道一杯开水放置在室内多久可以喝了，一杯牛奶多久可以结冰，为什么羊毛衫要比纯棉暖和。

• 结构场

想知道结构设计以后是否满足工况条件下的强度要求，一栋建筑可以抗击几级地震作用，一根钢丝反复折多少次会断。

• 流场

你可能想过为什么飞机外形是那个样子的，也可能想过为什么在狭窄的地方风那么大，更现实的是你也许想要知道在办公室坐在什么地方吹空调会比较舒服。

总结：

这个小短文从宏观框架上对FEM有一个初步的认识，概述了有限元方法的是什么，基本思想，能做些什么以及常用的商业通用有限元软件都做些什么分析。

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