黄金分割率、斐波那契数列、杨辉三角与易经河洛的奇妙关系

黄金分割率

黄金分割率,是人们经常听到的一个比率,它非常的有趣,非常的奇妙,

黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割。

他们的比率叫做:黄金分割率,

为了更好的了解这一常识,我们必须了解:斐波那契数列

斐波那契数列

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,

指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)

在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。

这个时候,我们来看看斐波那契数列与矩形面积的生成相关,由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。

斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形,由于斐波那契的递推公式,它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。则可以得到如下的恒等式:(如图)

这个时候,斐波那契数列和黄金分割率就联系了起来

杨辉三角

其实,我国古代的数学家,杨辉,发现了著名的杨辉三角,(如图)

那么我们就会想,我们古代的数学家是如何得到这些智慧呢?

易经河洛

其实,杨辉三角的排列,让人们更容易联系到易经的主要内容:

无极生太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,以此类推下去,每次生化出来,增加一个爻位。

六十四卦是什么,就是六爻卦,看到这里,杨辉三角和易经是联系起来的,

其中的联系,是把同样带有相同数目阴阳爻分类的卦归为一类,比如:

纯阳卦、纯阴卦卦各对应一数,

卦中有一个阴爻的对应一类,有多少个算多少,

卦中有一个阳爻的对应一类,有多少个算多少,

以此类推,(如下图)

那么杨辉三角和河图洛书直接关联的,

洛书、太极图中隐含的数学结构和黄金分割,

《大戴礼记·明堂篇》载文王之庙“明堂”设有“九室”,其数制是“二九四,七五三,六一八”,此即洛书。后人更以“二、四为角,六、八为足,左三右七,戴九履一,五居中央”示之。由此洛书的结构是很确定的。

洛书又称九宫图,为一三阶幻方,即每行数相加都是十五,但其实在的意义并不止此。将其中的偶数提取出来,即成如下图式:

直观此图,似乎并无特色。但按右旋结构,即可发现2+6=8,6+8=14,8+4=12,4+2=6,为方便起见,舍去10位数,只留个位数,即可发现其右旋结构为一加法序列,2+6=8,6+8=4,8+4=2,4+2=6,这一序列是循环的,按其左旋结构,则2×2=4,4×2=8,8×2=16,6×2=12,亦舍去10位数,即可发现其左旋结构为一乘法序列,2×2=4,4×2=8,8×2=6,6×2=2,这一序列也是循环的。事实上,2,6,8,4这一序列是斐波那契数列2(1,3,4,7,11……)的个位数的循环序列,2,4,8,6这一序列是等比数列2(1,2,4,8,16……)的个位数的循环序列。再将此图简化,即是如下图式:

对其略加调整,即是: 3 4 2 1

这一简单图式竟然包含着正旋为加法序列,反旋为乘法序列的奇妙结构,若不细思,实难发现。前又已述,加法表示事物之间距离较大的关系,乘法表示事物之间距离较小的关系,那么能否把二者协调起来呢,能不能找到一个既有加法序列的特点,使事物保持各自的特性,又有乘法序列的特点,使事物保持足够程度的相互联系呢了?

先设定1为为始数,斐波那契数列的特点是在a,b,c数列中a+b=c,而乘法数列的规律是b2=ac,设a=1,则1+b=c,b2=c,由此得到一个一元二次方程,

即b2-b-1=0,则b1= ,b2=— 这正是黄金分割的比率。因此,黄金分割分割数列 ,1,1+ ……正好是同时符合加法序列与乘法序列两种序列特点的黄金分割序列。

左旋序列即在传统文化中颇有地位的“太极生两仪,两仪生四象,四象变八卦”的1,2,4,8……序列。

右旋序列即为西方数学家斐波那契所发现的一种斐波那契数列,即1,3,4,7……。

众所周知,斐波那契数列的特点是其相邻两数的比率无限地趋向黄金分割,表现出一种不断进化和选择的精神。而乘法序列则是按照一个固定的比率无限地裂变,体现了稳定的遗传牲。乘法序列还体现了一种平等原则,1分为2,2之中每个1都是完全一样的,是平等的。而加法序列则体现了一种自性(或自由)原则,合二为一,一之中两个数(c=a+b)是不均匀的,保持着各自的特点。但乘法序列中的平等是同一等级之间的相互平等,不同等级之间是不平等的,加法序列则没有明显的等级关系,前一等级中的大数又构成后一等级中的小数,级差不太显著。黄金分割序列则是自由原则与平等原则,均匀与非均匀的同一,是圆满而又完美的序列,它既代表了一分为二的裂变而生的简单的单性生殖,又代表了合二为一的和合而生的复杂的双性繁殖,是潜藏的美妙结构。

这一玄妙的结构是如何产生的呢,是出于偶然的数学游戏还是必然的宇宙结构,其实按照中国的传统思想,这一结构是非常自然的。

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