2020届高三备考：速解导数压轴大题，设而不求处理隐零点难题

经典例题

已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0。

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e^(-2)<f(x0)<2^(-2)。

思路分析

用导数研究函数的极值，有两种情况，一种是极值点可求并计算极值；另一种是极值点不可求，但可用零点存在性定理证明其存在，并根据极值点的取值范围讨论极值的范围。本题属于后者。问题真正的难点在于，如何通过极大值点的范围、极大值点满足的方程来求得极大值的范围。

详细解析

(Ⅰ) 由f(1)=0，可将条件f(x)≥0转化为f(x)≥f(1)，即x=1是f(x)的极小值点，故f′(1)=0，解得a=1。再证明f(x)=x^2-x-xlnx≥f(1)=0即可。

(Ⅱ)证明：f(x)=x^2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx，x>0。令h(x)=2x-2-lnx，则h′(x)=2-1/x，由h′(x)=0得x=1/2。

当0<x<1/2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>1/2时，h′(x)>0，h(x)单调递增。

因为h(e^(-2))=2e^(-2)>0，h(1/2)<0=h(1)，所以h(x)在区间(0，1/2)内有唯一零点x0，在区间(1/2，+∞)内有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，+∞)时，h(x)>0。因为f′(x)=h(x)，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点。

由f′(x0)=0得lnx0=2(x0-1)，故f(x0)=x0(1-x0)，由x0∈(0，1/2)得f(x0)<1/4。

因为x=x0是f(x)在区间(0，1)内的最大值点，由e^(-1)∈(0，1)，f′(e^(-1))≠0得f(x0)>f(e^(-1))=e^(-2)。

所以e^(-2)<f(x0)<2^(-2)。

解题回顾

本题的解题思路比较简单明确。但是，具体的计算过程并非一帆风顺：极大值点满足的方程f′(x)=2x-2-lnx=0是超越方程，具体的值是求不出来的，而后面的极大值计算也涉及对数计算，所以通过对lnx代换的方式，降低了极大值的计算难度。这种设而不求、整体代换的思想在高中数学中也是比较重要的一种思想方法。