压轴题打卡9：动态问题有关的几何变换综合问题，综合性较强

如图，抛物线y=ax²+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），连接OB、AB，

（1）求该抛物线的解析式．

（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．

（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上．

（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题、综合题。

题干分析：

（1）将A（﹣4，0）、B（﹣2，2）代入抛物线解析式y=ax²+bx，列方程组求a、b的值即可；

（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状；

（3）根据△OAB的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A′、B′的坐标，根据中点坐标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进行判断；

（4）存在．过点O，作OM∥AB交抛物线于点M，根据△OAB为等腰直角三角形，可求直线OM的解析式，与抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A，作AM′∥OB交抛物线于点M′，联立方程组可求M′的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解．

解题反思：

本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，根据解析式确定图形的特殊性．