数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题 答案解析

勾股定理最短路径问题

例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。

这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。

2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点

如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。

例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？

分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。

3.在圆柱体中爬行半圈或一圈

在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。

例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？

变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？

4.正方体表面爬行

蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。

例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？

本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。

5.圆柱体多圈问题

例题5：为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为多少厘米？

分析：将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC可求，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度。

6.蚂蚁爬行转化为将军饮马问题

例题6：如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是多少厘米？

分析：本将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力。将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求。

本题是由外到内，需要转化为将军饮马问题解决，不是单单蚂蚁爬行问题。

7.蚂蚁在楼梯上爬行

例题7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm?

分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。

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▎编辑：小名老师