蝴蝶定理之十四

1、已知：如图，圆与△ABC的边BA，BC分别切于D，G，与边AC交于E，F两点，过点C作∠ABC的内角平分线的垂线，垂足为M，并与直线DE，DF交于P,Q.

证明：MP=MQ.(2018年3月根源杯数学奥林匹克邀请赛)

思路分析1：显然DG//CP,

看到平行及相等，想到这是

调和线束的基本性质，

从而只需证明DG,DM;DQ,DP为调和线束

即可，即需证GFTE为调和四边形，

即需证CT为圆的切线，从而可以消去

CA,DP,DQ,得到下图，

如上图，欲证CT为切线，由IGCM共圆，

即即需证T在此圆上，

需证TIGM共圆，

即证∠ITD=∠IGM,

而∠ITD=∠IDT=∠IGM显然成立，从而得证。

证明1：如图，设I为圆心，DM交圆于T，

由∠ITD=∠IDT=∠IGM得ITMG共圆，

由IGCM共圆得IGCMT共圆。

故CT为圆I的切线，

故GFTE为调和四边形，

则DG,DM;DQ,DP为调和线束，

又DG//CP，由线束的交比不变性得

MP=MQ。

思路分析2：欲证MP=MQ,

即证DGQP为等腰梯形，

即证∠DPG=∠DQG,

下面需证∠DPG=∠ACB=∠DQG,

即证GFQC,EPCG共圆，

这是显然的，从而得证。

证明2：如图，

显然IGCM共圆，

则∠PCB=∠BIG=∠DEG=∠DFG,

故GFQC,EPCG共圆。

故∠DPG=∠ACB=∠DQG，

则DGQP为等腰梯形，

故MP=MQ。

注：1）解法1是本人的思路，如果对调和比较熟悉的应该感觉比较自然，不过和解法2比起来绕了不少弯路。不过可以自我安慰的算是揭露了此题的本质还是调和。

2）思路2是解答提供的方法，跳出窠臼、一语中的、简洁明了。

3）本题是叶中豪老师提供的题目和解答，虽然解答没有用到蝴蝶定理，不过本质上显然还是蝴蝶定理的变形。叶老对蝴蝶定理有着深刻的理解和准确的把握，无人匹敌。前面诸篇很多题目都和他有关，后面还会有不少题目和叶老有关。当M在圆上时，此题即为2009年中欧数学奥林匹克中一个题目，所以此题应该是叶老师对那道题目的简单推广。

2、在锐角三角形ABC中，∠B>∠C,F是BC中点，BE、CD是高线。

G、H分别为FD、FE中点，若过A且平行于BC的直线交GH于I。

求证：IA=IF.（“高中联赛难度几何100题”之20题）

思路分析：本题构图比较新颖，特别是点I特别难以描述。

所以入手比较难。

本题相当于要证明AF平分∠IFB,

此结构看着似曾相识，

想到前面的85题，（第八篇[1]的第4题）

从而想到过A作FA垂线，

以下利用85题中的蝴蝶定理即得。

证明：如图过A作AF垂线交CB、DE于K、J，

由圆外蝴蝶定理知AK=AJ,

又AI//BC,则AI过FJ中点。

又由中位线定理知GH过FJ中点，

故F,I,J共线且I为JF中点。故IA=IF。

注：此题算是100题之85题，第八篇[1]的进一步推广，如果想不到转化为85题，估计只能使用暴力计算解决了。

3、已知：ABCD共圆于O，AB交CD于Q，AC交BD于P，线段PQ交圆O于E。

点M、N在BC上，且BM=CN,EM、EN再次交圆于F、K，AF、DK交BC于T、L。

求证：BT=CL,

(我们爱几何 新题快递 20190115 作者 万喜人)

思路分析：已知条件只有共圆及线段相等，

想用相似全等证明线段相等的希望不大。

所以首选计算，用第一篇[3]中交比不变性的沙尔定理比较靠谱，

从而需要证明TB*CM/TM=NB*CL/NL,

即证sin∠ACB*sin∠CBE/sin∠ABE=sin∠ECB*sin∠CBD/sin∠DCE,

这样就能简化图形，消去F、K等，得到下图

即需证

由正弦定理即得TB*CM/TM=NB*CL/NL,

又BM=CN，故BT=CL。证毕

注：本题显然是万老师对第九篇[2]第1题的推广。基本思路应该是计算。计算的基本思路就是类似第一篇[3]中证明4。

本篇又写了三个前面一些与蝴蝶定理有关的问题的推广。所以解题要善于将问题联系起来、及时发现问题的来龙去脉。