三角形（三十二）

既然相似和全等看起来关系这么紧密，很自然的问题是全等中的结论能不能平移到相似中呢？具体一点来说，能不能把全等三角形中关于三条线（中线、角平分线、高）的相关结论直接平移到相似三角形中呢？

比如：若两个三角形相似，则对应的三条线（高、中线、角平分线）成比例？

这个问题并不难，甚至可以说很简单，但是这种训练是很有必要的。学习的第一步永远是模仿，只不过不同的孩子模仿的次数有差异——到了一定阶段以后有的孩子就连模仿都很难做好。

资质是一方面的原因，而缺乏相应的训练也会导致这种情况。孩子证明了之后，家长需要引导孩子，让他们找出相似和全等之间的联系，这个联系比证明这些结论要重要的多。

这个方向过来是容易的，那么倒回去呢？

已知△ABC和△A’B’C’中，AD和A’D’分别是中线，且AB/A’B’=AD/A’D’=AC/A’C’。求证：△ABC和△A’B’C’相似。

这是对应成比例了，对应相等时候全等的证明过程还记得么？

如果忘了，那么作为家长应该好好惩戒一下。因为别说模仿了，就连最最基本的记忆都没有做好，谈何学好数学？！

在证明全等的时候，由于没有办法证明SSS，所以我们走的是SAS的路子，用的办法就是倍长中线。

同样的困难，我们似乎很难证明第三条对应的边的比例和已有的比例相等。由于困难类似，所以我们考虑方法会不会相同？

我们分别把AD和A’D’延长一倍，只要把证明全等时候的相等改成比例相等，我们就得到了△ABE和△A’B’E’相似，于是∠E=∠E’，∠BAE=∠B’A’E’，而∠E=∠DAC，∠E’=∠D’A’C’，所以∠BAC=∠B’A’C’，从而完成了证明。

如果把AD和A’D’改成高，题目也是非常容易证明的，直接用HL的相似版本马上可以得到结论。

如果AD和A’D’是角平分线呢？

如果孩子提笔就开始写，那么这时候你可以得意地指出：你倒是给我看清楚了再落笔！

为什么呢？

要注意，我们在证明两个三角形有一条对应的角平分线相等，继而两个三角形全等的情形时，条件是这样的：∠B=∠B’，∠C=∠C’，AD=A’D’！

明白问题在哪里了吧？没错，我们没有使用对应边相等，用的是角相等，但是我们现在的问题是：

已知△ABC和△A’B’C’中，AD和A’D’分别是角平分线，且AB/A’B’=AD/A’D’=AC/A’C’。求证：△ABC和△A’B’C’相似。

你看，这是不是就掉进坑里了？

怎么证明呢？

讲道理，这个题目如果改成AB/A’B’=AD/A’D’=AC/A’C’=1，即求证这两个三角形全等也是非常难的，如果全等都证明不了，那么相似就更加够呛。所以有兴趣的家长和孩子不妨先证明全等的情形，再考虑相似的情形。

事实上，我一直强调：数学题有形似神不似，神似形不似。角平分线的情形看起来和高、中线很像，如果看图更是容易被迷惑。但是一次是证明两条角平分线相等的三角形是等腰三角形，一次是上面这个，都充分说明了平移技巧的时候一定要注意使用的范围，千万不要想当然。

所以对于平移，我们要胆大心细，仔细甄别，这样才能做到不张冠李戴，白白走一堆冤枉路。