郭宏江:三角函数和e^x,lnx结合试题的破解方法
相关链接:
5.突破三角函数最值的十种求解策略——看完真的是“涨”见识了!
11.三角函数求最值的常用方法
三角函数和ex,lnx结合试题
的破解方法
西安 郭宏江
三角函数和ex,lnx结试题怎么破解,是困扰广大教师的难题,笔者通过认真研读高考试题和各地模拟试题总结出来一些方法,供大家参考:(由于此处难度很大,所以举例多,望各位读者认真体会其中的内在关系)
主要分以下题型:(共三种题型)
(一)sinx,cosx和ex,lnx加减型处理的方法,这类题处主要是以三角函数特别是正余弦函数为主,将区间分成以π/2的整数倍断开,此时不需要考虑指对函数的区间(为什么?)如果是考察零点,则在各个区间内找零点的个数,最后再总结;如果再要证明不
等式,可能要进行多次求导,(此时不是盲目的,而是观察到f(x)=0 和f’(x)=0是为了说明一阶导的正负),还要涉及简单的放缩.
以下以2019年全国一卷导数题为例,做以较详细的讲解:
(此处是处理这类题的第二个要点,在π/2的整数倍以后的区间结合正余弦的有界性有方向性的放缩,即达到目的)
以下以2020年福州市高中毕业班质量检测21题第二问为例,体会前边讲过的方法:
(这是此题第一种方法,后边再讲此题第二种方法)
(二) sinx,cosx和ex和乘除型处理的方法,(包括可以化为这种模型的试题),既要体现指数型“交朋友”,又要对三角函数按区间分段,或者抓住,对此求导,直至可以说明为止)
请看下边几例.
一道模考题 :
有ex和三角函数加减属于不等式证明问题时,也可以转化为相乘除关系处理,以下例子体会以下:
再次以炒得很红的八省第一次联考22题第一问为例:(两种方法)
此种解法,即体现了三角函数的分类标准,也体现了指数型“交朋友”,其中的奥秘读者自己体会.
(三)ex,lnx和三角函数也可以考虑利用切线放缩ex≥x+1(x=0时取等号),lnx≤x-1(x=0时取等号)
以下是一道模考题的第二问:
以上各种解法是自己的一点体会,和各位同行分享.