初中数学之因式分解（六）

甬上煌言

皮了一个礼拜，接着回来讲数学哈。

贼老师

因式分解讲到这里，算是刚开了个头。

是真的。。。我没有骗你，因式分解的博大精深，远远超过你的想象。

比如我们今天开始讲的换元法。

贼老师

所谓的换元法，就是指把式子中重复出现的，较为繁杂的部分用简单的字母来代替，从而达到简化计算的效果。

关键字：重复出现，繁杂，简单。

也就是说，我们最终的目的就是要化繁为简。只不过，有的时候这种繁很直观，有时候就比较隐蔽。

我们先来看直观的：

例1

很显然，在这里繁的是带有四次项的部分，所以我们可以做整体代换，令

则原式就变成

这个用十字相乘直接就分解成(t+2)(t+5)，再反代回原式，剩下的就简单了。

诶，如果所有的题目都是这样该多好。

然而，你懂的。

贼老师

我们接下来看那些不是很明显的换元法以及“什么，这也能用换元法”的那些题。

例2

这个换元法就不是那么明显了。

我们可以把这个全部展开来，然后整理，然后你会发现系数还是。。。

挺大的。

直接展开后，

应该说，这个因式分解难倒八成的初中生问题不大。

所以看起来并不是一个太好的办法。

我们始终要记住的一点就是：走错道不可怕，可怕的是走到黑但是不知道该如何回头。

太多的学生就卡在这里了，动不了了。

转弯是一项最基本的技能。转弯的时候要分清楚两种情况：一这是不是真的是死路；二是不是自己走错了路。

经过检查之后，我们发现上面的计算没有错误，但是我又不能再往下分解了，这时候就是明显的转弯的信号：

此！路！不！通！

好，下一个问题是，怎么转？

贼老师

既然全乘开来不行，那么乘一部分行不行？

前面一共有四个一次式，那么我乘三个留一个，还是两两相乘？

朴素的直觉告诉我们，两两相乘会比较好——因为对称。

那。。。两两怎么分组呢？

12,34;

13,24;

14,23;

无非是这三种。

再从对称的角度来看，13,24很显然被排除了；而12,34得到的结果是：

也不像能用换元法的样子吧？

那就是14,23了，我们得到

我们当然可以设

很快也能得出正确结果，但这是最好的设法么？

我们回忆一下，已知三个连续的自然数，blablabla。。。。

这时候该如何设这三个自然数呢？

我们当然可以设这三个数为x,x+1,x+2，但是更合理的设法应该是：x-1,x,x+1。

所以再回头来看上面的式子，令

是不是感觉更好呢？

因为只要一步我们就能得到

通过这个例子，家长要仔细体会，什么时候要转弯，怎么转弯。对于孩子做不出的题目一定要帮助他们耐心分析原因，做不出有两种情况，一种是压根不会，一种是会一点，但是不知道自己有没有走在正确道路上。其实对于中等以上的学生来说，大多数情况是后者，所以一定要帮助孩子进行甄别，逐步提高自信和解决问题的能力。

现在是不是觉得拐弯很有意思了？我们再来转一个弯！

例3

首先可以把乘开整理直接排除了，毕竟前车之鉴还尸骨未寒。。。。

但是不乘开来，根本动不了啊！

于是我们陷入了僵局。

这时候怎么办？乘开不行，那么拆开行不行？

贼老师

我们发现这两个二次式都可以进行因式分解，得到：

这时候再组合得到：

再令：

emmmm，题目看起来就做完了。

因式分解之所以重要，是因为代数的技巧几乎都可以在这块内容中得到训练。

因此，一定要细细体会哟~

贼老师

下课！

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