给中学生的纯科普——分形与混沌

下面我们开始分别介绍分形与混沌。

分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为一个粗糙或零碎的，Mandelbrot于1973年首次提出了分维和分形的思想。分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与随机过程中的鞅论关系密切。

上图可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。故较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，因此可以说西兰花簇是一个分形的实例。

分形一般有以下特质：

在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则以至难以用传统欧氏几何的语言描述；自相似Hausdorff维数会大于拓扑维数； 且有著简单的递归定义。

（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

（4）一般，分形集的分形维数严格大于它相应的拓扑维数。

（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

Koch曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，其Hausdorff维数是ln4/ln3，具体画法如下:

（1）任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
（2）取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
（3）重复上述两步，画出更小的三角形。
（4）一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做Koch曲线。

混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。Chaos一词源于希腊语，原始含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。在自然科学中混沌特指一种运动形态，而动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定，我们可以根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差甚至不可预测，而运动的可预测性是一个物理概念，一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。牛顿经典力学在一定程度上产生误解，它把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感的随机不可预测的运动状态——混沌运动。

混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态，其共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生，在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。

最后我们来谈谈分形与混沌的关系，分形是在更微小尺度上重复自己，即可以将这种重复看作是一种自反馈，例如对于有反馈的计算机神经网络来说，这种反馈就体现在一次处理的输出结构再次返回到上一级再次计算，故这是一种带有自反馈的系统。如果频繁使用这种反馈方式使得网络进行学习、进化成为可能，这种极其简单的法则繁衍出了复杂的现象，而这种复杂的现象具有不可预测性。再以以群鸟为例，你可以判断一只鸟的动向，但是一群鸟的动向很难判断，而其中的原因有可能是其中某只鸟突然改变方向，但是你预测不了它发生，这就造成了群体的混沌属性。于是在人工智能领域中的训练网络进行学习时，我们并不清楚人工智能是如何学习的，它是如何抽象出各种概念的，混沌的属性很可能会让人工智能出现某些未知的不可预测的行为。

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