一叶遮目象数理
（一）
高中，
记不清被老师调换了多少次座位
其中有一个同桌成绩不算太好
爱好娱乐圈的各种新闻八卦
自习课上
往往是我给她讲讲题
她给我讲讲各种段子
至今还记得她讲的福尔摩斯和华生露营的段子。
福尔摩斯和华生带着帐篷去野营。睡到半夜的时候，福尔摩斯推醒华生：“华生，向天上看，告诉我你看到了什么。” “我看到了几百万颗星星。”华生回答。“好，这让你明白了什么？” 华生思考了几分钟，“从天文学的角度讲，它告诉我天上有几百万颗恒星和几十亿颗行星；从星象学的角度讲，我看到了土星位于狮子座；从神学角度讲，我可以看到上帝是无所不能而我们是渺小和微不足道的；从气象学角度讲，我猜想明天是个好天气。它让你了解到什么呢？” 沉默了一会儿，福尔摩斯盯着华生说道：“我们的帐篷让别人偷了。”
这个段子其实就是成语一叶遮目的另一种表述。
有的人的思维会看见局部现象
有的人的思维会看见事物全貌
（二）
2009年，
北京
普拉特惠特尼航空航天培训中心
美国人Mathew在这里用了30天训练我们福尔摩斯式的思维方式。
2016年Mathew被联合技术公司任命为OTIS澳大利亚区总裁。
一句话总结这30天的培训就是：
When you have eliminated the impossibles,
whatever remains,
however improbable, must be the truth.”
用思维逻辑排除客观合理的不可能后，剩下的，哪怕我们潜意识里难以置信它是事实真相，但它肯定是事实真相。
impossible是客观的不存在不可能
improbable是主观上的难以置信
Mathew带着我们做了大量的游戏。
比如随机写下一个英语单词，如何用不超过17个问题得到对方随机写下的单词谜底。
比如如何用最少的成本找到有质量问题的曲奇。
比如如何帮助神探柴克和艾薇找到神偷卡门的藏身之地。
比如泰坦尼克号的事件调查
在中国古代
Mathew教导我们的方法叫
射覆
分曹射覆蜡灯红
里的射覆
可惜
大部分人只看到
身无彩凤双飞翼，
心有灵犀一点通。
随着科学的发展
理论公式及数学定理的抽象化
世人取象的能力更加日益退化
射覆的实质成为隐学
射覆
也成了一种迷信。
（三）
数学
在中国
数学是从象中观察出来的
在西方
数学是有公式推导出来的
中国古代的数学思维与近代西方式数学思维有本质的区别。
中国古代数学关注的是形而上
数学是为了管理服务的
近代西方式数学关注的是形而下
数学是为了技术及利益服务的
中国有个成语叫
朝三暮四
很多人将这个成语当做笑话看
其实这个成语是中国古代数学补数思想的理论化。
编这个段子的古人能写出猴子不懂桃子的总数是不变的段子。
难道他会不知晓所谓印度数学的补数思想？
不是他不愿意把补数思想一步一步的写出来
而是中国古人探索追求的是形而上的理论
形而下的技术对他们是具体工作的劳动人民才考虑的事情。
例如加法运算：
运用朝三暮四的补数法可以口算出结果来。
例如减法运算
运用朝三暮四的补数法可以快速口算出结果来。
古数学中乘法运算更能表现出来数学是由象观察出来的。
例如：中间数是整十，整百的乘法口诀是：
天之道损有余而补不足
计算出它的结果是由变化它的象得出的。
17*23的象根据损有余而补不足转化成20*20-3*3的象如下：
比如至少一个乘数接近100的两位数乘法。它的计算口诀是
损不足而益有余
例如：
计算出它的结果是由变化它的象得出的。
91*91的象根据损不足而益有余转化成82*100-9*9的象如下：
比如个位是5的数和偶数相乘。根据损不足而益有余
能够快速口算出结果。
63*67的象根据损不足而益有余转化成60*70大矩形+3*7小矩形
Chinese grid method
其实就是中国的铺地锦图
其他乘法结果简单的象：
古数学中除法运算其实就是扶乩过程产生的象观察出来的。
扶乩的过程上篇文章有描述。
（四）
中国古数学与西方数学的异同
4.1 《孙子算经》与斐波那契《计算之书》
《孙子算经》卷下有题：
题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？
答：答曰：木八十一枝，七百二十九巢，六千五百六十一禽，五万九千四十九雏，五十三万一千四百四十一毛，四百七十八万二千九百六十九色，四千三 百四万六千七百二十一。
” 术：“术曰：置九堤以九乘之，得木之数；又以九乘之，得枝之数；又以九乘之，得巢之数 ；又以九乘之，得禽之数；又以九乘之，得雏之数；又以九乘之，得毛之数；又以九乘之 ，得色之数。”（术 ： 算法）
斐波那契《计算之书》第 12 章有题：
“七个老人去罗马。他们中每个人有 7 个骡子， 每个骡子背了 7 个袋子， 每个袋子中有 7 片面包， 每片面包有 7 把小刀 ，每把小刀有 7 个鞘。求上述和 。”
九堤 → 堤有九木 → 木有九枝 → 枝有九巢 → 巢有九禽 → 禽有九雏 → 雏有九毛 → 毛有九色。层层递进，越来越小，越来越细，由宏观到微观，文字描述也符合逻辑。
而计算之书的面包上有7把小刀是不符合逻辑的。
4.2 《张丘建算经》与斐波那契《计算之书》
题：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一；凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”
答：“答曰：鸡翁四，直钱二十；鸡母十八，直钱五十四；鸡雏七十八，直钱二十六。又答：鸡翁八，直钱四十；鸡母十一，直钱三十三；鸡雏八十一，直钱二十七。又答：鸡翁十二，直钱六十；鸡母四，直钱十二；鸡雏八十四，直钱二十八。”
术：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”
《计算之书》11 章：“有人买鸟。斑鸠 1 只 3 钱币，鸽子 1 只 2 钱币，2 只麻雀 1 钱币。30 个钱币买 30 只鸟。我们需要知道各种鸟他买了多少 ? ”
4.3
《孙子算经·卷下》一题：
题：“今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？”
答：“答曰：二十三。”
术曰：'三、三数之，剩二’，置一百四十；'五、五数之，剩三’，置六十三；'七、七数之，剩二’，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。
凡三、三数之，剩一，则置七十；五，五数之，剩一，则置二十一；七、七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。
斐波那契《计算之书》(12 章) 有一题：“设计一个数，除以 3，除以 5，也除以 7 ……对于除以 3，所剩余的每个单位 1，要记住 70；对于除以 5，所剩余的每个单位 1，要记住 21；对于除以 7 所剩余的每个单位 1，要记住 15。这样的数如大于 105，则减去 105，其剩余就是所设计的数。
4.4
《九章算术·卷六》“均输章” 第二十题，凫雁相逢 ：
题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起。问︰何日相逢？”
答：“答曰：三日、十六分日之十五。”
术：“术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。”
《计算之书》第 12 章，两船相遇：“两只船相距一定的距离，第一只船需要 5 天才可以驶完这段路程，另外一只需要 7 天。如果同时出发它们需要多少天才会相遇？
4.5
《九章算术·卷八》“方程” 第十题，关于甲乙持钱的问题：
题：“今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半三分之二，而亦钱五十。问：甲、乙持钱各几何？”
答：“答曰：甲持三十七钱半，乙持二十五钱。”
术：“术曰：如方程，损益之。” ：“甲欲乙中半，乙母二分子之一；乙欲甲之太半，甲母是三分子之乃之二。以甲母三分乘乙钱五十，得一百五十，复以乙母二分乘甲钱五十得一百。以少减多，乙钱余五十，半之得乙钱二十五。复以乙钱二十五，甲钱一百，以少减多，甲钱余七十五，半之得甲钱三十七文半。”
《计算之书》第 12 章有一题 ：
“两个人有一些便士， 一个对另外一个说 ，如果你给我一个便士， 则我的就和你一样 。另外一个回答 ，如果你给我一个你的便士， 则我将有你十倍的便士。”
“损益之”就是现在所谓的 “高斯消元法”。
4.6
《九章算术·卷六》“均输章” 有一题：
题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问几何步及之？”
答：“答曰：二百五十步。”
术：“术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。”
按：“按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行 一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一 百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。”
题：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善行者几何里及之？”
答：“答曰：三十三里少半里。”
术：“术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。”
按：“按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之， 即得也。其意如上术也。”
题：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行几何步及之？”
答：“答曰：一百七步七分步之一。”
术：“术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数为实。实如法得一步。”
按：“按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百 五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。”
斐波那契《计算之书》第 12 章的 “狐走犬追” 题：
“有一只逃跑的狐狸它在一只狗前面 50 步远的地方，狐狸每前进 6 步狗就跟随它前进 9 步。事实上这个问题可以利用鸡蛋问题的规则来计算，也就是你把 9 减去 6，剩下 3，你把 50 乘以 6 除以 3 ，得到的商是 100 步，也就是狐狸跑了这些距离使得狗与它到了同样的地方。事实上如果你忽略了他们的距离，假设在狐狸前进了 100 步之后狗赶上了它，你把 100 乘以 3，除以前面所说的 6。”
法国 19 世纪 “纳皮尔算筹”，辅助计算的算具。现藏于维也纳科技博物馆。
中国算筹 + 算盘 = 纳皮尔算筹
（五）
度量衡
数字有了度量衡才有了温度，才活了起来。
度量衡赋予了数字生命。
“田曹云度之所起，起于忽。十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一氂，十氂为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，四丈为一匹，五丈为一端，六尺为一步，二百四十步为一畞，三百步为一里。” “仓曹云量之所起，起于粟。十粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛。” “金曹云称之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。”
（六）
小数点
苏格兰的伟大的数学发明家约翰·纳皮尔发明了小数点。
轰动一时，被称为数学史上伟大的发明。
其实西方使用小数点的根本原因是没有拿得出手的度量衡。
中国古算术书中不使用小数是因为有完善的精确地统一的度量衡
即使计算到很小位值，也是有单位的！
比如祖冲之的圆周率 3.1415926 是怎么表达的呢？
见《隋书·律历志上》：
“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径壹亿为壹丈，圆周盈数三丈壹尺四寸壹分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈壹尺四寸壹分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径壹百壹十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。”
纳皮尔生活在 16 世纪末 17 世纪初，可以推断，那时候的欧洲实际上还没有精确的系统的度量衡，所以小数点的出现，对他们而言，确实很重要。
小数点虽然可以表达精确度，但是却牺牲了对度量衡信息的完整表达。
比如你不能说 46.7936 石粮食值银 26.366321856 两，或者说这块豆腐卖 2.3456789 元，这种只考虑大单位而通过使用小数点省略小单位的做法在实际生活中不实用，至少它在表达真正的精确度上是有缺陷的。
（完）