原创话题：学习方法策略技巧
几何图形初步02（进阶）
题型一：点、线、面、体
《初中数学典型题思路分析》中一道题和2020年一道中考真题对比分析.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．【解题思路】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式：欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2再用这个关系式解答后面的问题．
【答案解析】解：(1)6， 6， V+F-E＝2；
(2)20；
(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为（24*3)/2=36条，
根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，
∴ x+y＝14．
欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式:________.
【解题思路】（1）根据图形数出顶点数，棱数，面数，填入表格即可；
（2）根据表格数据，顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答．
【答案解析】（1）填表如下：
（2）∵4+4﹣6＝2，
6+5﹣9＝2，
8+6﹣12＝2，
6+8﹣12＝2，
…，
∴V+F﹣E＝2．
即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2．
【典型题2】本题摘自《初中数学典型题思路分析》
将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如图1所示．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )．
【答案解析】第一次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是5，右面的是3，正面是1，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，面向上的应当是5，右面的是1，正面是4；第二次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是6，右面的是5，正面是4，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，面向上的应当是6，右面的是4，正面是2；第三次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是3，右面的是6，正面是2，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，正面向上的应当是3，右面的是2，正面是1，就回到了初始状态．所以每完成三次变换即可回到原来的位置，所以第十次变换后的状态与第一次变换后的状态相同，所以朝上一面的点数是5．选B.如图（a）,高为12cm的一个圆柱形玻璃杯,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm的点A处.若点A和C正好在过圆柱上下底面圆心的截面相对两条母线上,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______.
【解题思路】将圆柱侧面展开解题.注意：因为“点A和C正好在过圆柱上下底面圆心的截面相对两条母线上”，所以将前半个圆柱侧面展开即可.如下图，求A到MQ上一点，再到C点的最短距离，做A关于MQ的对称点G，GC长度即所求.【答案解析】沿截面将前半个圆柱侧面展开，得到如图（b）所示矩形MNPQ，由题意可得MN＝12cm，NP＝9cm，MA＝4cm，CP＝3cm.延长NM到G，使MG＝AM（即点G、A关于MQ对称），连结CG交MQ于点D.因为点D到点G、A的距离相等，所以CG的长就是点A到C的最短距离.过G作MQ的平行线，与PQ的延长线相交于点H.容易得到在Rt△CGH中GH＝9cm，CH＝CQ＋QH＝12－3＋4＝13（cm），
【答案解析】
如图（a）,将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成—个底面是等边三角形的棱柱,求这个棱柱的侧面积.
【解题思路】棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．
【答案解析】
待续...
《初中数学典型题思路分析》,
不仅是一堆猎物，也是一支猎枪.
