第14讲：《一元函数微分、局部线性化及其近似应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、微分的概念

思想：“以直代曲”：在一点的邻域内用切线段代替曲线段，即用理想规则近似一般规则，这也是建立导数、微分模型的依据，再借助极限手段得到一般规律. 即

【注1】 是与无关的量

【注2】当函数表达式，点和给定，则是具体的数值；没有给出具体数值，则微分一定是后面带有乘项的表达式（微分结果千万不能漏了 ）.

二、可微与可导的等价关系

函数可微的充要条件函数可导，并且函数微分的计算可以归结为导数的计算. 即

【注1】直观可以理解函数的导数记号为函数微分比上自变量的微分，即

【注2】用定义判定函数是否在某点可微，是看是否能够找到一个与 无关的量，使得

如果成立，则可微，否则不可微. 即函数值增量与微分的差是比自变量增量的高阶无穷小.

【注3】利用可微与可导的等价关系，判定函数是否可微可以直接通过判定函数是否可导来实现.

特别注意的是：导数乘以才是微分！不加则是导数，两者有本质的区别，一个是变化率，一个函数值增量的近似描述.

三、微分在近似计算中的应用

将不容易计算的函数在某点(即)的函数值，或者函数值的增量转换为容易计算点的函数值与导数值来计算，它们的误差是关于，即的高阶无穷小. 即

四、微分的运算法则与微分不变性

1、四则运算

将求导的四则运算法则中的求导符号替换成微分符号即可，即

其中.

2、复合运算法则与微分的形式不变性

【注】微分的计算可以转换为计算导数的实现；同样，导数的计算也可以通过微分来计算. 尤其是方程确定的隐函数导数的计算，可以基于微分运算法则与微分的形式不变性（保持因变量微分形式不变），通过两端求微分，再两端除以自变量的微分来得到导数结果. 具体实例可以参见课件中的例题与练习解答.