第14讲:《一元函数微分、局部线性化及其近似应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、微分的概念

思想:以直代曲:在一点的邻域内用切线段代替曲线段,即用理想规则近似一般规则,这也是建立导数、微分模型的依据,再借助极限手段得到一般规律.

【注1】 是与无关的量
【注2】当函数表达式,点和给定,则是具体的数值;没有给出具体数值,则微分一定是后面带有乘项的表达式(微分结果千万不能漏了 ).

二、可微与可导的等价关系

函数可微的充要条件函数可导,并且函数微分的计算可以归结为导数的计算. 即
【注1】直观可以理解函数的导数记号为函数微分比上自变量的微分,即
【注2】用定义判定函数是否在某点可微,是看是否能够找到一个与 无关的量,使得
如果成立,则可微,否则不可微. 即函数值增量与微分的差是比自变量增量的高阶无穷小.
【注3】利用可微与可导的等价关系,判定函数是否可微可以直接通过判定函数是否可导来实现.
特别注意的是:导数乘以才是微分!不加则是导数,两者有本质的区别,一个是变化率,一个函数值增量的近似描述.

三、微分在近似计算中的应用

将不容易计算的函数在某点(即)的函数值,或者函数值的增量转换为容易计算点的函数值与导数值来计算,它们的误差是关于,即的高阶无穷小. 即

四、微分的运算法则与微分不变性

1、四则运算

将求导的四则运算法则中的求导符号替换成微分符号即可,即
其中.

2、复合运算法则与微分的形式不变性

【注】微分的计算可以转换为计算导数的实现;同样,导数的计算也可以通过微分来计算. 尤其是方程确定的隐函数导数的计算,可以基于微分运算法则与微分的形式不变性(保持因变量微分形式不变),通过两端求微分,再两端除以自变量的微分来得到导数结果. 具体实例可以参见课件中的例题与练习解答.

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