中考数学压轴题分析：对角互补型四点共圆

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【中考真题】

（2021·黔东南州）在四边形中，对角线平分．
【探究发现】
（1）如图①，若，．求证：；
【拓展迁移】
（2）如图②，若，．
①猜想、、三条线段的数量关系，并说明理由；
②若，求四边形的面积．

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【分析】

（1）线段和差可以考虑截长补短。但是本题比较特殊，因为△ADC与△ABC均为特殊的直角三角形，因此直接利用30度角所对的直角边为斜边的一半即可得到结论。

（2）①只有对角互补与角平分线，似乎很难证明结论。但是观察发现BC与DC相等，可以先考虑证明它们相等，再用截长补短等得到结论。

方法一：过点C分别作AB与AD的垂线，证明全等得到结论。

方法二：以AC为边在AC的上方或下方构造等边三角形，通过全等来证明。

（2）②已知AC的长，其实就是求△ACE的面积，比较简单。也体现了割补的思想。

【答案】解：（1）证明：平分，，

，
，．
，
（2）①，
理由：过点分别作于，于．

平分，于，，

，，

在和中，
，
，
，
，
在四边形中，由（1）题知：，
，
②平分，，
，
又
，
，，
．