心理统计知识点：标准误和标准差的区别

很多同学对标准差和标准误总是傻傻分不清，要了解标准误和标准差的区别，首先要先了解统计学中的三种分布。

总体分布

我们所要研究的所有对象组成的集合叫做总体。而总体中每一个随机变量X的取值概率形成的分布就是总体分布。

如研究对象是一个城市所有居民的身高，那这个城市所有市民的身高就会形成如下总体分布：

在这个分布里，横坐标上的X代表这个城市每个居民的身高，μ为总体的平均身高。

样本分布

从总体中随机抽样的一部分个体组成了样本，这个样本里的每一个随机变量X的取值概率形成的分布就是这个样本的分布。

比如从一个城市中随机抽取200人作为一个样本，他们每个人的身高形成了如下样本分布：

在这个分布里，横坐标上的x代表这个200人样本里每个人的身高，M为样本的平均身高。

综上所述

①在形态上，身高的总体分布和样本分布都为正态分布，除了离散程度不一样以外，其他的部分看起来都差不多。

②这两个分布的对象虽然都是城市居民的身高，但实际上一个是总体的分布，一个是随机抽取的样本分布；一个横坐标代表整个城市每个居民的身高，一个横坐标只代表随机抽取的这200人的身高。

样本均值分布

样本均值的分布也叫样本均值的抽样分布，即从一个总体中随机抽取无数个样本，每个样本的均值形成的分布。在样本均值分布里，横坐标代表的不再是每个居民的身高，而是每个样本中居民身高的均值。

在上面的例子中，一个城市所有居民的身高形成了总体分布，从中随机抽取200人的身高形成了一个样本分布。

如果我们继续抽样，依然以200为样本容量，从总体中随机抽取无数个这样的样本，每个样本都算出均值，我们就会发现，这些均值也形成了一个正态分布，这就是样本均值分布。根据中心极限定理，样本均值分布的数学期望（均值）为总体均值μ。

样本均值分布的特点：

①样本均值分布横坐标上的每个X代表所有样本中身高的均值，而不是每个居民的身高。

②无论原总体的分布是不是正态分布，当样本容量大于等于30时，样本均值分布都为正态分布；当样本容量小于30时，样本均值分布趋于正态分布。

学习完以上三种分布并了解了它们之间的区别之后，我们就可以对标准差和标准误进行区分了。

标准差

总体标准差公式

其中xi是总体里的每一个居民的身高，μ是总体均值，N为总体容量。

样本标准差公式

其中xi是样本里的每一个居民的身高，`x是样本均值，n为样本容量。

注意：标准差只存在于总体分布和样本分布里，用来衡量总体和样本的离散程度。

标准误

标准误公式

标准误与标准差的计算公式非常像，但这是两个完全不同的概念。

标准误是样本统计量的标准差，在上面三个分布中，只有样本均值分布中才有标准误的概念，它用来衡量样本均值这个样本统计量的离散程度，也代表样本平均数和总体平均数之间的误差。在计算标准误时，需要使用到样本标准差。

总结

1. 标准差只在总体和样本中才有，分为总体标准差和样本标准差，计算方式一样，但是字母用大小写区分开。

2. 标准差衡量的是总体或样本中具体分数的离散程度，比如身高。

3. 标准误只在样本均值分布中才有，计算公式和标准差很像，但概念完全不一样。

4. 标准误衡量的是样本统计量（平均值）的离散程度，比如身高的均值。