空间曲面切平面引入的教法探讨

摘 要：本文通过探究高等数学多元函数微分学的几何应用教学中，通过重新定义空间曲面的切平面并求出切平面的方程，给出这方面知识点教学的一个新思路.

关键词：偏导数 空间曲线 空间曲面 切线 切平面

1.一般的高等数学教材[1]，在讲空间曲面的切平面的时候，在给出切平面的定义后，通过求曲面上任意一条曲线的偏导数和偏导数的几何意义来得到切平面的法向量，进而得到切平面方程。 这样处理的好处是简单易得，但坏处是没有直接给出切平面的法向量，给人的感觉法向量是顺便得到的，不是主动求得的。教师在讲这方面内容的时候可以换一种思路和方法来讲述这一部分，可以如下设计教案。

2.空间曲面的方程为：，点为曲面上任一点。过点平行于坐标平面的曲线为：

过点平行于坐标平面的曲线为

两曲线在点的切线垂直相交于点。

3.曲面在点处切平面可以定义为：曲线在点的切线构成的平面。

这里涉及两个问题，一是证明过点的所有曲线的切线落在切平面上，二是求切平面的点法式方程。

4.教科书[1，2]处理方式是证明第一个问题，顺便解决第二个问题，这里可以反过来讲，即先求切平面的点法式方程。再证明第二个问题。

由偏导数的几何意义可得在点的切线方程为切线方程为：

即。

其方向向量 。

在点的切线方程为切线方程为：

即 。

其方向向量 。

垂直于切平面的向量为：

可取法向量为，于是曲面在点的切平面的点法式方程为

下面证明曲面的过点的所有曲线的切线落在切平面上。

设曲线  是曲面上过点的任一条曲线，其中 为点对应的参数值。故

曲线 在点的切线的方向向量为 。

因为在点处可导，

故。

所以垂直于切平面的法向量。 即曲面的過点的所有曲线的切线落在切平面上。

5.这样设计教学的好处是切平面的定义相对简单，证明用到的知识更丰富，比如用到向量的向量积。涉及的知识点也更多，比如除了空间曲线的切线相关知识外，还有更前面讲的偏导数的几何意义等。让学生们可以更好地理解和巩固前面所学内容。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学：下册[M].6版.北京：高等教育出版社2007.

[2]李路，张学山.高等数学：下册[M].1版.北京：清华大学出版社2013.

作者简介

李宜阳（1979—），男，山东高密人，博士，副教授，从事李代数与表示理论

参考资料http://a.shayumeichuang.com/index.php?c=show&id=7840