从最基础的语言出发·读《用数学的语言看世界》
——读大栗博司《用数学的语言看世界》一书有感
语言是思维的载体。掌握一种语言，就是掌握了一种思维的方式。到一个地方，懂得了当地的方言，才能够有机地融入其中；到一个国家，能流利地运用其民族的语言进行交流，才不会有隔阂感。
不同的学科也有自己独特的语言体系，要想运用学科知识去解决实际问题，同样需要把握学科的语言特点，善于运用最为基础、最为核心的语言来分析、解决日益复杂多变的世界中存在的各种问题。从事理论物理研究的大栗博司，写的这本《用数学的语言看世界》一书，就给我们提供了用数学语言来分析研究各种问题的有趣的视角。
一、概率与积累
概率是一种用数字表示某种主张正确率的方法，也是一个基本的数学概念。它和一个人的坚持不懈地做好一件事、不断积累自己有什么关系？
我们来想想抛掷硬币的情况。如果抛掷的次数足够多，那么硬币正面朝上的概率p和背面朝上的的概率q将均为1/2，且p＋q＝1，这是我们很容易得到的结论。假如说你是一个赌徒，和对方都拿了100元钱，想通过投掷硬币的方式把对方的100元钱赢过来，从数学的角度看，这是不大可能的。假设你有m元钱，想要赢到N元时收手，则赢钱的概率：
P（m，N）＝[1-（q/p)m]/[1-（q/p)N]
当p＝q＝1/2时，上述公式的分子和分母都变成了0，这种情况可以采取如下计算的方法：
P（m，N）＝m/N（当p＝q＝1/2时）
可见，你拿100元去和人赌博，赢钱的概率和输光的概率是一样的，均为五五开。
在讨论上述问题的时候，有一个重要的前提：硬币必须是理想的，不仅分布完全均匀，而且各处都没有一点污染，每次抛掷硬币的手法也要完全一致。如果硬币本身有一些小瑕疵，或者由于用的时间长了，某一面上多了一些油渍，那有会出现什么情况呢？
假设由于硬币自身的问题，使得p＝0.47，q＝0.53。则代入上式之后可以知道，你赢钱的概率P(10，20)≈0.23。换言之，所持金额翻倍的概率降低到23%，输光的概率升至77%。也就是说，只要在硬币上稍微动个手脚，例如将容易抛出背面的概率增加3%，那么输光的概率就从50% 增至77%。相反，如果p＝0.53，q＝0.47，那么P(50，100)≈0.9975，仅仅增加3%的有利条件，翻倍的概率马上变成了99.75%。在这种情况下，除非运气特别差，否则谁都能贏。
一个人在成长的过程中会经历很多与此类似的事情。比如说你想健康长寿，但不是说你今天想健康了，人就立刻健康起来了。一个人能否以健康的姿态长时间地生活在所属的群体之中，与他长期以来建立起来的生活习惯和生活方式是有直接的关联的。健康长寿就跟拋硬币使钱翻倍的道理相似。如果偶然的积累会决定最终的结果，那么每一步是稍微有利还是轻微不利，不同的选择对结果的最终影响会千差万别。
这其中，有两点特别值得关注：一是要努力创设“对自己稍微有利的条件”。很多时候，你在起步的生活和别人是没有多大差别的，那3%左右的微小差异，往往并不被人们所重视，但就是这微小的差异，导致了今后不同的人生之路；二是持之以恒地去实践。微小的差异之所以能带来结果的巨大不同，就是因为一次又一次坚持不懈地去积累。有句老话叫作“每一天的积累最重要”，使用概率公式P(m,N)，我们能通过数字切实体会到每天积累的重要性！这正是数学的力量。
在羡慕那些成功人士的时候，我们常常自我安慰，认为这些人拥有某种异于常人的才能。我们不排除他们中间确实有一小部分人拥有与众不同的才能，但他们中的大部分人与常人并无不同。只不过,这些人懂得一步一步积累，将概率改变成对自己有利的条件，从长远来看便与常人拉开了巨大的差距。
二、基本原理的价值
创新狂人马斯克在回答一个人的提问时，曾说过这样一段话：“我们在平时的生活中一般不会从基本原理去思考问题。那么做的话，我们在精神上会受不了。所以，我们人生的大部分时间是在类推或模仿他人中度过的。不过当我们要去开辟一个新的领域，或者从真正意义上去创新时，必须得从基本原理出发。任何领域都一样，先要去发现这个领域中最基本的真理，然后再重新思考。实现这个过程需要精神上的努力。”
在数的计算中，结合律、交换率和分配率再加上“1”的性质：1×a＝a×1＝a，就构成了数字运算的基本原理。有关0的意义，负数的概念，分数等运算等等，均可以通过上述基本原理来深入讨论。
大约在公元前300年，欧几里得的《几何原本》从五条最基本的公设出发，归纳总结了几何图形的各种性质，不仅创立了几何学，而且也是数学作为一门学问的开始。这5条公设被称作公理，每一条都在阐述理所当然的常识。虽然人们从这些公理出发去讨论问题确实要经历一个繁琐的过程，但正是因为人们忍受了这样的过程，才发现了普遍的真理。想想看，由此而得到的一系列结论，即使在2300年之后的今天也依然准确无误，那是怎样激动人心的事情。这正是马斯克口中“从基本原理思考问题”的含义。
随着古登堡在十五世纪对活字印刷术的推广，欧几里得的《几何原本》也得以通过印刷的方式在时间流传。之后不就，这本书就成了仅次于《圣经》的最畅销图书，《圣经》和《几何原本》成了支撑欧洲文明的两大支柱。
1596年出生的笛卡尔，被誉为近代理性主义的创始人。他在其著作《方法论》一书中明确提出探索真理的四个步骤：
1）凡是我没有明确地认识到的真理，我绝不把他当成真的接受。
2）要研究复杂问题，尽量分解为多个比较简单的小问题，一个一个地分开解决。
3）小问题从简单到复杂排列，先从容易解决的问题着手。
4）问题解决后，再综合起来检验，看是否完全，是否将问题彻底解决了。
上述4个步骤，反映了《几何原本》的精神，即从理所当然的公理出发，依次推导出图形的复杂性质。从少数原理出发推到复杂的定理，欧几里得的这种论证方法被当做学问的标准，斯宾诺萨、笛卡尔、牛顿等许多哲学家和科学家都深受他的影响。大约在一个世纪以前，托马斯·杰斐逊起草《独立宣言》时，在第2段开头写道：“我们认为人人平等是自明之理”，可以看出杰斐逊也受到了欧几里得的影响。实际上，林肯在葛底斯堡发表演说时也引用了《独立宣言》的这句话作为命题。欧几里得的论证法通过理论来说服持有不同意见的人们，构成了民主主义的基础。
数学和民族主义都诞生于古希腊。数学是一种通过理论寻找真理的方法，而且所使用的理论不依附宗教和权势，受到社会的普遍认可。不是被迫接受结论，而是每一个人都用自己的头脑自由地进行思考和判断。这种姿态同时保证了民主主义能够发挥健全的作用。经济合作与发展组织实施的国际学生评估项目(PISA)旨在考察15岁学生的学习能力，其中对“数学素养”的界定是：“学生能确定并理解数学在社会所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效运用数学。这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民，适应当前及未来生活所必须的数学能力。”
尽管到了19世纪，非欧几何的发现让人们看到了欧几里得《几何原本》所描述的公理的局限性，让人们意识到有些公理只在平面几何中成立。比如，在球面几何中，三角形的内角和会大于180°，而在双曲面中，三角形的内角和又会小于180°。即便如此，欧几里得的《几何原本》所阐述的基本原理，依然是我们分析、研究大千世界的重要依据。就拿宇宙的形状来说，它到底是一个平坦的空间，还是一个扭曲的空间，我们可以通过对微波波动的观察，在宇宙的起源和现在的地球之间建立三角测量，通过三角形的内角和的性质，来推断宇宙的形状。
华罗庚说过：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。这个最原始而不失重要性的地方，就是数学的基本原理。
三、数学语言的意义
语言的选择在很大程度上影响了我们对身边事物的感受和思考。就像一个外地人在上海工作，看到几个同事在一起用上海话畅谈交流的时候，他就会觉得有些别扭，这种“别扭”本身就是一种感受、一种对所处语言环境的行为表达。当年查理大帝在重新统一了欧洲之后，肯定也有关于语言交流的切身感受，所以他说出了这样一句名言：“掌握另外一种语言就是拥有第二个灵魂。”
从数学学习的角度看，要回归基本原理，尽可能正确地把握事物的本质，同样需要借助数学语言。数学语言可分为抽象性数学语言和直观性数学语言，包括数学概念 、术语、符号、式子、图形等。各种形态的数学语言各有其优越性，如概念定义严密，揭示本质属性；术语引入科学、自然，体系完整规范；符号指意简明，书写方便，且集中表达数学内容；式子将关系溶于形式之中，有助运算，便于思考；图形表现直观，有助记忆，有助思维，有益于问题解决。数学语言是数学思维的载体，是表达科学思想的通用工具。数学语言具有准确性、逻辑性、简洁性、专业性等特点。所谓准确性，指的是每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，不会含糊不清或产生歧义；所谓逻辑性，指的是以严密的逻辑结构作为数学学科的框架；所谓简洁性，指的是它总是用最精炼的言语、最少的语言符号去表达最复杂的形式关系；所谓专业性，指的是相关的专业术语在日常生活中是很少用到的。
每一数学语言的产生都与现实生活中对数学的需求相关。比如说为了进行大数字的估算，数学家们发明了“乘方”这一数学语言，并将“整数部分是一位数的小数”和“10的乘方”的乘积来表示数字的方法，称之为“科学计数法”。有了科学计数法之后，两个用科学计数法表示的数字再进行的乘除运算，就可以转化为指数的加减运算。我们知道，给定一个数x，就可以计算10的乘方10x，这就是函数：x→10x。那么，其逆运算是什么呢？10x→log10(10x)＝x。苏格兰的约翰·奈皮尔所发明的对数，就是为了更方便地进行大数字的乘法和除法运算。开普勒继承了布拉赫的大量天体观察数据后，对这些数据进行了仔细的整理和详细的研究，并在几年之后就发表了行星运动的开普勒第一定律和第二定律，但最为关键的第三定律仍然迟迟没有被发现。直到1616年，他知道了对数这一数学语言之后，深受启发，于1618年的3月8日，“我的脑海中浮现出了一个伟大的想法”（摘自开普勒1619年出版的《世界的和谐》）。这个想法就是比较轨道半径的对数和公转周期的对数。通过比较，他发现了“行星公转周期的平方与其椭圆轨道的长半径的立方之比是一个常量”，开普勒第三定律由此诞生。也正是因为这一定律的发现，促使牛顿间接发现了万有引力定律。
上述的事例也告诉我们，数学语言也是一门发展中的语言。随着人们探索发现的不断深入，随着人们对事物的认识的不断深入，人类所面临的新事物、新问题也会越来越多，这必然要求我们创新建构我们的语言体系，创造新的语言。创造新的语言是为了讨论前所未有的事物，解答未曾解决的问题，这也是人类最为大的智力活动之一。特别是最近几十年来，我们已经非常明显地感觉到，在科学的最前沿，新的数学不断出现，数学语言也在不断丰富，以表达最新的科学知识。
做教师的，真的应该让孩子们好好感受这学科语言的魅力。要通过学科教学，把科学的种子、探索的种子、希望的种子，种在孩子们心里，让它们慢慢地生根、发芽。
《用数学的语言看世界》 [日]大栗博司/著 尤彬彬/译 人民邮电出版社 2017.04