一题可破万题山（中篇）| 一道好题的多解多变归一（精选）
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF
我们可以从以下七个角度去思考解法。
仔细想想，证两个直角三角形全等真的不可以吗？
直接证明主要是得不到边相等，但是它们应该是存在边等的，例如FH=BE或者AB=EH，这样是不是可以？如果要证明，此时需要借用方程的方法解决。
解此方程可得a=b，这样后面就能证明全等了。
此题还可以考虑将图形进行旋转，通过旋转构造新的图形，然后由新图形来证得线段相等。
旋转法一：将△ABE绕点B顺时针旋转90度：
旋转法二：将△EFC绕点E逆时针旋转：
其实，除了以上旋转方法，还有以下旋转方法，读者可自行尝试证明。
旋转法四：将△EFC绕点E顺时针旋转：(图形难看，所以省掉)
旋转法五：将△EFC绕点C顺时针旋转：
旋转法六：将△ABE绕点B逆时针旋转：
旋转法七：将△ABE绕点A逆时针旋转：
旋转法八：将△ABE绕点A顺时针旋转
如上图，将△ABE折叠下来可以，可以由等腰直角三角形A’BC推得△A’EF为等腰三角形。
对于初二下册学生而言，已经开始接触一次函数了，这里也是可以使用一次函数来证明。
以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系。
如图，可以设BE长为a个单位长度，F点纵坐标为b,后面就可以利用AE⊥EF,得到a=b,最后利用勾股定理可以求解AE和EF的长度。（特注：两直线垂直，比例系数乘积为-1）
点评：此方法，虽然较为麻烦，但是不失为解决此类问题的一种通性通法。
此题若站在更高视角，例如九年级角度来看，还能得到以下解法：
由∠AEF=∠ACF=90°可以得到四点A、E、C、F共圆（圆周角定理），然后可推∠ACB=∠AFE=45°，这样就得到了等腰直角三角形AEF
此题若知道相似，在思考角度二中可以不列方程得到全等。
多解归一：要证明边等的方法可以构造全等、平行四边形、等腰直角三角形或者列方程求解，构造的方法有截取法、运动变换法、共圆法等。总而言之，灵活构造是解决此类问题之本。
此题不仅可以存在一题多解，还有一题多变，并且变化更加精彩。
1-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.
2-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.
2-2 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边CB的延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.
3-1 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AE=EF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：∠AEF=90°.
3-2 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，AE=EF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：∠AEF=90°.
3-3 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF=90°，AE=EF，求证：CF是正方形外角的平分线.
源自江苏-谈志国老师
5-1如图，四边形ABCD是矩形，其中2AB=BC，点E是边BC的一点，∠AEF=90°，∠ACF=90°，求证：EF=2AE
6-1 如图，三角形ABC是等边三角形，点E是边BC一点，∠CEF=60°，且EF交等边三角形ABC外角的平分线BF于点F，求证：CE=BF.
源自上海-周继光老师
7-1 如图，等边三角形ABC中，点D为AC中点，AD=CE，求证：BD=DE
7-2 如图，等边三角形ABC中，点D为AC上一点，AD=CE，求证：BD=DE
源自河南-杨峰老师
8-1 如图，在等腰直角三角形ABC中，已知∠BAC=90°，点D为边AC上一点，
求证：BD=DE
此题若再进行延长变化、因果变化、三角形变化，恐还会出来更多好题，欢迎补充！
来源：夏师数学。