几何画板画椭圆

椭圆是一种既重要又优美的圆锥曲线,可以通过用平面截圆锥得到.椭圆的绘制方法很多,其中最简单最优美的作法就是根据椭圆第一定义的手工作法,即:取一条定长细绳,把它的两端分别固定在画图板上的和点,当绳长大于和的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆.

几何画板是一种常用的数学软件,具有强大的绘图功能,也为我们探究椭圆的不同绘制方法提供了平台.在探究过程中,我们遇到了一些麻烦和困难,但也获得了很多意想不到的惊喜和收获!

我们将椭圆的绘制方法分为七类:定义法、代数法、交轨法、变化法、包络法、物理法、立体几何法。今天大小吴就先介绍定义法!

1椭圆的第一定义之交弧法

(1)原理

(2)作法

  • 作,在线段上取一动点.
  • 作两个点和,以为圆心,为半径作圆;以为圆心,为半径作圆.
  • 记圆和圆的交点为(注意有两个交点,否则就只能得到半个椭圆),以为主动点,为从动点,构造轨迹便得到椭圆.

(3)分析

动点的轨迹为以、为焦点的椭圆.

(4)评价

交弧法绘制的椭圆有焦点,但在两个半椭圆交接处是不稳定的,精度越高越接近精确的椭圆.

2椭圆的第一定义之单圆法

(1)原理

(2)作法

  • 画两个点、. 以为圆心作一个圆,使得圆半径大于 .
  • 在圆上取动点. 记线段的中垂线与线段的交点为,以为主动点, 为从动点,构造轨迹便得到椭圆.

(3)分析

动点的轨迹为以、为焦点的椭圆.

(4)评价

单圆法非常巧妙地运用了线段中垂线的性质,因点只依赖于点的运动,故无需拼接,比起方法1更为精准.

3椭圆的第二定义

(1)原理

动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为定值,即(0 < <1).

(2)作法

  • 作线段,在其上取一点,度量线段和之长,并作比.
  • 作射线,在其上取一点,度量的长;计算,并把它标记为距离.
  • 以为圆心,为半径作圆.
  • 按标记的距离平移准线,平移后的准线与圆相交于(注意有两个交点,否则就只能得到半个椭圆),以为主动点,为从动点,构造轨迹便得到椭圆.

(3)分析

动点到定点的距离,动点到定直线的距离 ,

,(0 < <1),故动点的轨迹为以为左焦点,为左准线的椭圆.

(4)评价

与方法1相类似,方法3的椭圆也是由两段拼接而成,越到拼接处效果越差,只有通过增加精度使之变得圆滑.

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