利用梯子攀高过程中的安全性分析
图1 常见的梯子
1 引言
近日，一村民利用梯子上房顶准备清扫自家屋顶积雪时，从直梯上重重地摔倒，久久未能起身，令人揪心。微主对梯子的稳定性进行分析。
视频1 梯子滑倒视频
从监控视频中可以看到，直梯上还覆盖着不少的积雪，屋顶边缘处也是厚厚一层积雪，这位村民在行将迈上屋顶时，直梯发生滑落，连带将村民一块摔倒在地。
在低温的环境中，不仅仅路面容易结冰，室外的一切物品都有结冰的可能，稍有不慎就可能滑倒，往轻了说是扭伤、疼痛，往重了说可能会骨折，甚至会造成严重的后果。
焦作晚报报道
男子上房扫雪不料重重摔倒，现场监控记录全过程，焦作人千万注意！
创客焦作报道
文章推出后，很多网友纷纷留言讨论，发表意见，还有不少网友通过私信进行交流。
有网友指出，推文中物理模型的梯子与墙壁的不一致，需要进一步修改完善。在网友们的建议和指导下，微主从新进行了建模分析。
2 原理分析
由于视频中的梯子比较长，梯子的中上部与墙壁上边缘接触，梯子与墙壁上边缘的弹力不是水平的。
图2 梯子受力分析图
如图2所示，若设梯子与地面之间的摩擦因数为μ，梯子与地面的夹角为θ，梯子的长度为L，墙的高度为h，人攀爬的长度为l，梯子的质量为m，人的质量为M，重力加速度为g，可知梯子与地面的静摩擦力、最大静摩擦力及两者的比值表达式如式1所示。
式1
其中f为梯子与地面的静摩擦力，而fmax则为梯子与地面之间的最大静摩擦力，设两者的比值为梯子的安全系数k，则k值越小，梯子越是安全；k值越是接近于1，梯子越是危险；如果k值大于1，梯子必将滑倒。
3 图像绘制
假设开始时村民没有登上梯子；从t1时刻，村民登上梯子并缓慢向上攀爬，t2时刻到达梯子的中点，t3时刻到达梯子平衡的临界点，t4时刻到达墙壁高度；则在几何画板中绘制梯子与地面间的静摩擦力与最大静摩擦力的比值，即安全系数变化曲线如图3所示。
图3 梯子安全系数变化曲线
由图3可以看出，梯子自身的稳定性并等于梯子和村民组成的物体系的稳定性。村民登上梯子之前，梯子的k值是小于1 的，此时梯子是稳定的；当村民于t1时刻登上梯子的瞬间，梯子和村民组成的物体系的k值突然减小，系统更加稳定；但是随着村民逐渐向上攀爬，系统的k值越来越大；当t2时刻村民攀爬至梯子中点处时，系统的k值与梯子的初始k值相等；随着村民继续向上攀爬，k值继续增大，当t3时刻，k值等于1，此时处于梯子滑倒的临界点；如果村民继续向上攀爬，系统k值大于1，系统失去平衡，滑翻摔倒。
4 意见和建议
根据上述分析，村民在使用梯子向高处攀登的时候，可以参考如下两条结论，以策安全。
4.1 梯子自身的安全并不代表村民在梯子上攀爬的全过程都是安全的。
4.2 如果梯子自身是安全的，则村民在梯子上只要不越过梯子的中点，村民就是安全的。
4.3 梯子与地面的夹角越大，越安全；但要防止质点系质心越过梯子与地面的接触点而向外翻倒。
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