初二奥数精讲——第2讲 因式分解的特殊方法(二)
本讲适用于初二、初三,因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目,所以只要有课堂上基本的知识储备,都可以一起来学习,相信对你的奥数、数学思维,解题思路都大有裨益。
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一、知识点解析
因式分解是一种重要的恒等变形,虽然它是初中阶段学习的内容,在高中阶段也有着非常广泛的应用,比如,比较大小,判断函数的单调性,证明不等式,解高次方程、超越方程等,因此,因式分解历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。因式分解在数学竞赛中,除了常规的基本方法,还需要掌握和运用一些特殊方法,让我们来开始学习吧。
1. 基本知识
因式分解的常用定理:
因式定理:如果一个关于x的多项式在x=a时的值为零,则这个多项式必定含有因式x-a.
恒等定理1:设
都是关于x的多项式,则A与B恒等,当且仅当m=n,an=bn,
an-1=bn-1,…,a1=b1,a0=b0.
恒等定理2:设A、B都是关于x的n次多项式,如果它们在多于n个点处的值都相等,那么这两个多项式恒等。
有理根判定定理:设
是关于x的整系数多项式,p、q是整数且p、q互质。如果多项式A含有有理根q/p,则p是an的因子,且q是a0的因子。此时,多项式含有因式(px-q).特别地,对于首一(首项系数为1)的多项式,其有理根都是整数根。
2. 基本方法
前一讲介绍了因式分解的常用方法,此外,在数学竞赛中,还要掌握和运用如下的方法:
(1)拆添项法:将一个项分成两个或多个项,或者同时加上或减去一个相同的项,再适当分组进行分解。
(2)长除法(或综合除法):通过观察、试验,发现多项式含有某种因式,然后采用多项式除法求出另一个因式。如果先发现的因式是一次式,其多项式的除法可分离出系数来进行,这种除法叫综合除法。以一元二次多项式
除以x-a为例:
综合除法的具体作法是:先在第一行依次写出被除式按降幂排列的各项的系数(缺项用零补齐),然后将最左边一个系数移到第三行,再用a乘第三行最右边(开始时第三行只有一个数)的数,其积写在第二行的右移一列。将此列两数的和写在该列的第三行。如此下去,直至求出最后一列两数的和,此和即为要求的余数。
当综合除法掌握得很熟练时,运用起来就比长除法简便很多,但长除法的适用范围更广,因为它可以进行任何两个多项式相除。
(3)试根法:根据多项式有理根判定定理,确定多项式的有理根的所有可能形式,逐一检验,发现其有理根,进而确定多项式含有的因式,最后用长除法或综合除法确定它的其他因式。
这部分主要考察学生的对因式分解特殊方法的了解及掌握,是因式分解的奥数题延伸,属于提高部分。这部分题型种类繁多,要在扎实的基础知识基础上,认真学习,多加练习,才能保证在因式分解特殊方法的学习上超过别人,让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1
因式分解:
分析:注意到中间两项系数均为5,联想到立方和公式的因式,所以想到配一个常数1。
解答:
例2
因式分解:
分析:如果多项式含有有理根,则必是整数根,且此整数为10的约数±1、±2、±5、±10,经试验,当x=2时,原式等于0,依据因式定理,原式有因式x-2,由此可通过综合除法进行分解。也可采用拆添项,应使相邻两项系数之比为1:(-2)。
解答:
例3
因式分解:
例4
设多项式
含有因式3x+1和2x-3,试将此多项式因式分解。
例5
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