中考数学压轴题分析：旋转与相似

本文内容选自2021年岳阳中考数学几何压轴题。以线段的旋转为背景，构造菱形，并根据相似进行解答问题。题目设计比较灵巧，值得研究。

---

【中考真题】

（2021·岳阳）如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．
（1）如图1，若，则线段与的数量关系是 　，　　；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
（3）如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．

---

【分析】

（1）根据直角三角形的斜边中线的性质，以及含30°角的直角三角形的三边关系可以直接得到结论。

（2）①易得CF与CD相等，进而得到四边形CDEF的一组对边平行且相等，那么它必然是菱形，但是∠CDE为直角，所以必然为正方形。

②遇到比例则考虑相似。发现BE与FH分别在△BEG和△FCH中，而且他们容易证得相似，就可以转化为求CF与GE的比值了。那么只需求出DG与CD的比值即可难度不大。

（3）有了前面的基础，那么就好求了。还是根据相似得到结论。

先证明∠BGE=∠DGC=∠FCG，再证明∠GBE=∠CFD=∠CDF=α/2（∠ABC=30°，利用外角的性质，可以得到∠ADE=α+60=2∠DBE，再得结论），那么就可以得到△BEG和△FCH相似了。进而转化为求CF与GE的比值。

不过(α-60°)并不好表示，过点D作BC的垂线，可以得到这个角，且有一个直角三角形，进而得到边NG与DN的比例关系，而CF=CD=2DN，所以就比较容易转化了。

【答案】解：（1）在中，，点为的中点，
，
，
，是等边三角形，
，
，
，
．
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
故答案为：；．
（2）①四边形是正方形，理由如下，
平分，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
菱形是正方形．
②由（1）可知，，，，
，，
，
，
，，
，
，
由①知，，
，
，，
，
，
，，
．
（3）如图3，过点作于点，

，
，
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
在中，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，，
，
，
，，
，
．