向量

测量某些事物的大小, 如质量, 长度和时间, 只需要一个数和一个测量单位. 相关实数为标量.

向量(vector, 或称矢量)是指一个同时具有大小和方向的几何对象, 可以用来描述力, 位移或速度.

只要向量的大小和方向相同, 即视为相等的向量. 另外如果向量 v 的起点在原点, 则称之为是 v 的标准位置. 观察如下图所示在二维平面(Two-dimensional)下, 当移动一个向量, 所留下轨迹上都视为相同的向量:

向量的分量形式:如果平面上的一个向量 v 等于起点在原点 (0,0) 终点在 (v1, v2) 的向量, 则 v 的分量形式是 v=(v1,v2)

向量 v 的长度表示成 |v| 或 ||v||.

任何长度为 1 的向量 v 为单位向量. 如果 v=(v1,v2) 与正 x 轴成角 θ , 则 v=(cosθ, sinθ) . 当 θ 从 0 到 2π 时, 单位向量取遍所有可能方向, 则绘制出单位圆.

向量的代数运算

设 u=(u1,u2) 和 v=(v1,v2) 是向量, k 是一个标量(实数).加法: u + v = (u1+v1, u2+v2)数乘: k u = (k u1, k u2)

向量加法的定义几何解释如下动画, 图中一个向量的起点置于两一个向量的终点.

向量加法的另一种表示称为加法的平行四边形定律, 其中的和称为合成向量, 是平行四边形的对角线. 再物理学中, 力, 速度以及加速度等都是按向量的方式相加. 观察下图两个向量之和(红色箭头).

一个标量 k 和向量 u 的乘积动画显示如下. 如果 k >0, 则 k u 与 u 有相同的方向; 若 k<0, 则 k u 和 u 有相反的方向.

两个向量的差 u - v 意义是 u - v = u + (-v)

任何平面向量 v=(a,b) 都可以写成标准单位向量 i=(1,0) 和 j=(0,1) 的如下的线性组合:v = (a,b) = (a,0) + (0,b) = a(1,0) + b(0,1) = a i + b j

在研究运动时, 经常想要知道一个物体朝什么方向和运行有多快. 向量 v≠0 , 则 v|v| 是一个和 v 同方向的单位向量.

当一个物体沿平面(或空间)内的一个路径运动时, 它的速度是路径的一个切向量.

一个向量是一条曲线再一个点 P 的切向量或法向量, 如果它分别平行或垂直于曲线再点 P 的切线. 请观察下图动画:

如果一个力 F 作用再一个路径运动的质点上. 我们经常需要知道力再运动方向的大小.

两个非零向量 u=(u1,u2) 和 v=(v1,v2) 的点积(或内积)是数 u⋅v = u1v1+u2v2

两个非零向量 u=(u1,u2) 和 v=(v1,v2) 的夹角由下面式子给出:

特别注意: 向量 u 和 v 是正交的, 当且仅当 u⋅v = 0

下面看看向量 u 在 v 上的向量投影动画:

如果 u 和 v 之间的夹角 θ 是锐角, uprojv 有长度 |u|cosθ 和方向 v|v| ; θ 是钝角, uprojv 有长度 -|u|cosθ 和方向 −v|v|

在研究一个质点沿平面上(或空间中)的一个路径的运动时, 加速度向量就可以写成它的切向分量和法向分量之和.

从图中可以看到对向量 u 和 v 而言, 从上图可以看到 u-projvu 正交于投影向量 uprojv, 于是 u = projvu + (u - projvu) , 就把 u 表示成了正交向量的和.(完)

【平面向量/点积】图解高等数学-下 01