无穷小是分层的（引入篇）
作者介绍: 毛线团君
[遇见数学] 翻译组视频 PM，双鸭山数学学院某肥宅，梦想是无戒口地吃，无限时地睡，无止境地学。_(:3」∠)_
无穷小是分层的（引入篇）
这是第二讲，我大概要开始有点飘了。(第一讲《从高中数列谈起》)
我们回想一下上次给过的几个例子，底数绝对值小于1的等比数列是收敛的，大于1的等比数列是发散的，所有等差数列都是发散的（可以用求和公式验证一下）。再机智一点的可能会去思考一下，用错位相减法求等差数列与等比数列的乘积是不是收敛的。
在这里非常容易得出一个错误但是很直观的结论，就是命题 p：
逐渐减少趋近于0可以直接一步得出命题 q：级数收敛。
很有道理啊，因为要是级数收敛的话一定有上界，要是
不是逐渐减少趋近于0的话，那不就很容易超过我们的极限了吗？这属于数学中典型的直觉证明法。这里我们必须认识到，我们可以通过级数收敛，推断出
逐渐减少趋近于 0，但是我们不能通过
逐渐减少趋近于 0 推断出级数收敛.
图自: 百度百科
逐渐减少趋近于0与命题 q：级数收敛并不是互为充要条件的。其中命题 q 是命题 p 的充分条件。
我们来看两个级数。一个
=
，另一个是
=
. 下面我们要简单证明
是发散的，

最后我直接告诉你结论，就是类似于
=
的函数，当
时都是收敛的。这是例子一，如果看不懂的话就记住级数
不收敛但级数
收敛。这其实是一个反直觉的结论，而造成这种"反直觉"的原因，就是我们还不了解"无穷小"是怎么做到"分层"这件事的。
同样无限减小趋向 0，我们知道
是比
要高阶的无穷小，我们难以知道本质上
是如何做到完美地在 s>1 时收敛而在 s≤1 发散的（事实上这个
级数跟黎曼猜想有关），我们只需要了解这个结论广泛应用的领域。
我们一个很重要的判断级数是否收敛的方法就是让被判断级数与
比较大小。学高数的同学们应该非常了解，这里不详细解释这个方法，我们把它记作例子二。我们等会再说。
好，这篇文章要思考的最终问题是，为什么同样是递减并无限趋近于0，就有一些级数是收敛的，一些级数是不收敛的呢？
我们先介绍一下级数
收敛的本质。就是当n趋于无穷大时，
的值非常趋近0，但不同级数的同一项大小有区别，当然我们同一项越小，越有收敛的倾向。还是你那个直观，每一项加得越少，部分和
就越容易有一个极限存在。在这里，一个直观的理解就是，
只要小过了某个临界，级数收敛就成立了。
当然
的小，是在n趋向无穷时的每一项都小于这个临界。
换句话来说，
是无穷小。但是在数学上，无穷小是分层的，用一句非常拗口的话来说，就是一些无穷小比另一些无穷小要小。这时候我们上面举出来的那个例子一就起作用了。单看每一项的话，
比
要小，在
这个类型的级数中，
是这个临界点，s>1时，
比临界小，所以它收敛。其实也很直观，级数的每一项，
都比
要小，这是高阶无穷小的一个很浅层的体现。
单看我这样说好像很有道理的样子，但是你有没有想过，我们如何比较级数的大小？跟你想象的可能有点不一样，按照我们的比较方法，
是和
同样小的。这里的数学术语叫做同阶无穷小。
你小学的时候应该学过，比较两个正数的大小，一个办法是相减，另一个办法是相除。相减的结果跟0比较，相除的结果跟1比较。那么比较两个级数的大小呢，我们是采用相除的方法。
如果当 n 趋于无穷时，两通项公式相除的极限存在，并且是一个不为 0 的数时，我们说这两个通项公式代表的级数是同阶无穷小。比如
和
，相除的极限就是 2，我们说，同阶的两个级数，要么同样发散，要么同样收敛。
，使它跟
同阶。
至此，我们把所有级数从0到1到2到无穷，划分成了不同阶的无穷小。
其实我想告诉你们的东西很简单，就是一个结论：无穷小是分层的。所以现在你能不能理解刚刚提及的例子二？我们如果要判断一个级数
是否收敛，就是看看能不能找到一个s使它与
同阶，诸如此类粗略判断其无穷小阶数的方法。(-完-)
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