韦达定理(一)

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上次惊闻初中竟然把韦达定理给删了,真是叔可忍婶不可忍!

韦达定理在后续的学习中还是挺重要的,特别是解析几何联立方程之后,必然要用韦达定理。而且韦达定理对于综合训练还是很有好处的。

韦达全名叫弗朗索瓦·韦达(FrançoisViète,1540~1603),是一位法国杰出数学家。他是历史上第一个系统地用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的数学家,此举给代数理论研究带来了巨大便利。试想一下没有这些字母表示,纯粹靠文字叙述这些表达式该是多么令人糟心!当然,他最为中学生所熟悉的工作就是讨论了方程根的多种有理变换,发现了方程根与系数的关系——韦达定理,因此在欧洲被尊称为“代数学之父”。在旷日持久的法西战争中,韦达利用精湛的数学方法,成功破译西班牙的军事密码,为法国赢得战争主动权——当然最后是西班牙人赢了,但是没有韦达法国输的更惨。

这么好用的定理,竟然被删了?

所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。对于方程:

这个证明很简单,最直接的办法就是直接对求根公式进行计算即可。

更一般的,我们有高次的韦达定理:若

当然,我们一般来说只用到二次的结果,n次的比较少见,平时考试肯定用不到,只有奥数里可能会见到。所以重点还是看二次的情况。

例:已知方程

两根比为4:5,判别式为2,求方程两个根。

一般来说,不管在什么题目中出现连比的形式,我们往往设比值为k,这是一个基本操作。所以我们可以设这两个根为4k,5k,于是

像这些都是基本训练,特别是,以后读了解析几何就知道把这个练熟有多重要。

首先我们先写出

但是韦达定理最牛叉的地方在于:这个定理不光是对方程有实根的情况成立,而且对于判别式小于0的情况下依然是成立的,也就是说韦达定理超越了虚实!

1995年宁波市数学中考有一个题目就是平面几何和韦达定理的结合,但是那个题目中给出的一元二次方程是没有实根的,很多学生都被题目搞懵了,纷纷缴械。事实上那个题目对于方程有无实根没有要求,只和韦达定理有关,不过事后也是纷纷被质疑,这要放在今天估计真的能起一场风波。

所以作为我们来说,如果只是单纯地让你计算这些值,那么可以不用考虑判别式,但是如果明确方程有两个实根,一定不能忘了计算一下判别式的符号!!!!!!!!!!!因为韦达定理和判别式:不!挨!着!!!!!!!!

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