吹肥皂泡引发的数学的联想

今天实在是太难得了，下了都不知道多久的雨终于停了，赶紧跑出来散散步。

很显然，大家都被这鬼天气关的太久了，公园里的人非常多，各种小买卖人也多。很多孩子举着吹泡泡的玩具疯跑。

看到这些美丽的肥皂泡，我就。。。想到数学了。

事实上，如果我们把一根铁丝拧成封闭的曲线浸到肥皂水里，再拿出来的时候，这条封闭的铁丝中间会出现一张非常美丽的薄膜，在阳光下闪耀着七彩的斑斓。。。

后面根据这个斑斓展开描写，那是语文老师的事情，作为数学老师，我要讲的是这里的数学。

非常有意思的是，每条这种曲线围出来的薄膜一定是所有以这条曲线为边界的曲面中面积最小的，因此我们把这种曲面称为：极小曲面。

很自然地我们将考虑这样一个问题：每条封闭曲线一定都能围出极小曲面么？

感觉上当然可以啊！哪个框框还围不出个薄膜嘛？

好的，那么请证明一下。。。

同学，你醒醒啊！！！

这不禁让我想到了另一个看起来很简单的问题：

平面上，一条定长的线段围成的封闭图形中，圆的面积一定是最大的。

这个结论很多时候我们是当定理直接用的，如果现在要求你来证明一下呢？

这。。。

又不知道从何下手了。

其实我们可以从几何直观上来考虑这个问题。首先，我们可以肯定的是，这个图形一定是朝外凸的，而不能朝内凹陷。

不然的话，我们总是可以在凹凸的两个转折点连一条线，然后把凹进去的部分做关于这条线的对称，那么图形的面积增大而周长不变。

其次我们在封闭曲线上找到两点，如果这两点把曲线分成不同的两段，且这两段等长，那么这两点连线一定平分这个图形。

如果不对，那么我们假设两块中一块大一块小，把大的往小的那边一盖，把图形变成这样一个对称图形，那么长度没变，面积增大了。

最后，满足上述条件的两个点A、B以及随便挑一点C，总有∠ACB=90°.

因为弓形ACB的面积可以看成弓形AC的面积加上弓形BC的面积加上△ABC的面积，如果∠ACB不等于90°，那么只要把这个角变成90°，三角形的面积就会变大（根据S=1/2×absinC,a,b不变，C变成90°，面积最大），这样这个弓形ACB的面积最大。

现在是不是觉得怎么看这个图形就该是个圆了？

但是总感觉不够严格，对吧。

别不知足了，就这，都来之不易。

这个看起来很容易的问题，直到1838年才被不严格地证明了，一直到20世纪初，才由数学家利用傅里叶级数和格林公式给出了一个严格的证明。这个题目还作为某大学数学系的研究生入学试题过。。。

所以那些看起来很容易，但是证明起来很坑爹的题目真的比比皆是啊。比起等周不等式来，更坑爹的是费马大定理，这玩意整疯了多少民科就不好统计了。