中考数学压轴题分析：射影定理与几何最值问题

本文内容选自2021年宁波中考数学压轴题，题目难度较大，涉及相似三角形有关的知识，需要适当构造辅助线，可以好好学习一下。

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【中考真题】

（2021·宁波）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点．
（1）若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，连结，．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．

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【分析】 

（1）根据弧AE与弧CD的关系，得到对应的圆周角相等，进而在直角三角形ABG中可以得到∠AGB与α之间的关系。

（2）证明线段相等，可以考虑证明全等。本题只需根据ASA证明△BGD与△CEF全等即可。

（3）①已知AD的值与∠ADB的正切值，即可得到△ADB的边长。根据前面的结论，易得BG=CE=AD，进而求出所有的边长。连接DE，在Rt△BDE中可以得到DE的长，进而求出△FGD的周长。

②求最值则需要表示出CG的长。但CG无法直接求得CG的长。可以考虑构造直角三角形，利用相似或勾股等知识进行求解。过点C作CG垂直BF于H，易得△ABD与△CHF全等，发现这是一个射影定理的模型，根据△BHC与△CHF相似，可以设未知数表示出CG的平方即可。

【答案】解：（1）为的直径，
，
，
，
；
（2）为的直径，
，
，
，
，，
，
又，，
，
；
（3）①如图，连接，

为的直径，
，
在中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，，
在中，，
，
的周长为；
②如图，过点作于，

，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
当时，的最小值为3，
的最小值为．