解题方法之：蓦然回首，那人却在灯火阑珊处

半年前，弯弯在学到自然数等差数列和的时候，用首尾之和的方法得到了那个公式，也算是比较容易理解的。

那么问题来了，自然数的平方和，自然数的立方和，怎么得到呢？

在之前，我们还用一个比较形像的方法得到了：1+3+5+7+……，也就是自然数的奇数和公式，这些方法培养孩子的形像思维是非常不错的，也就是讲数学的直觉的培养是需要形像的理解数学的。

当孩子的理解水平达到一个台阶的时候，就不能够只满足于从直观的方式去理解数学，因为，所有的数学公式与定理，都是需要严格的推导才能够真正的去理解它。只要不是太难以推导，都应该自己亲手去推导它。

回到前面去，当孩子在成功的推导出一个定理，或者公式之后，要是信心爆了天花板，要去推导更难的定理或者公式怎么办呢，这个时候，要合理的夸奖的同时，也要把他兴趣最好暂引到其它地方去。

因为，有一些定理的推导本就需要更加多的基础，如果还不具备，要硬上，也许会让孩子的信心受到打击。让他心里留下这个问题，等过些时日，再回头来看，也许就像王国唯讲的人生三境界之三：蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

今天，我们讲了高等数学之中的一章，用伸缩法求和，这是积分初步一定要学会的，在这之前，我们已经进行了微积分的启蒙，所以，讲这一章就非常容易理解。

为什么要用伸缩法去讲这一组公式的推导呢。那是因为老师用数学归纳法去推导这一组公式。而数学归纳法虽然好用，却有一个问题，那就是公式要靠先用观察总结出来，然后用归纳法去证明它是正确的。要通过观察得到公式，这件事情，简单的没有问题，你试试去观察自然数的平方和公式和立方和公式试试。

那么用伸缩法呢，就可以自然而然的推导出：自然数之和，奇数，偶数之和，自然数的平方和、立方和，只要有耐性，你会发现还可以用它来得到高次自然数求和。

弯弯说，看样子，真的需要学得广一些，不然，只掌握一种方法，那么在理解一些事情的时候会费劲得多，虽然都是在推导相同的公式，不同的方法，体验会有相当大的差别。

越是自然的方法，越能够理解，就越容易掌握并运用在解题之中。

用套公式解题的方法，去掌握一个公式，这需要做大量的题，还不一定能够掌握公式本身深刻的含义，要是公式本身是自己用自然而然的方法推导出来的，那么就是记不住又有什么呢，推一遍就好了。

人的大脑就那么大，关键是人的一生时间就那么多。