一道高考题的16种证法
关于解题
解题不仅仅是为了做对一道题，更多的是为了巩固对知识的理解，积累解题经验，强化解题方法，发现解题规律，掌握解题策略，形成解题意识，培养坚忍不拔、锲而不舍的意志品质.波利亚说过，中学数学首要的任务就是加强解题训练，他有一句名言：“掌握数学就是意味着善于解题”，在这里，“解题”近于“掌握数学”的同义词了.波利亚把教会学生解题看做是教会学生思考，培养他们独立探索能力的一条主要途径.
《普通高中数学课程标准（2017）》提出“四能”：发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力的总目标. 数学中的创新往往始于问题，发现和提出问题是创新的基础.数学家们常说：在数学中，发现问题往往比证明结论更重要.因此，我们需要适时、适度地引导学生发现、提出一些数学问题，进而分析和解决问题，促进学生数学学习水平的提高.
一道高考题的16种证法
北师大贵阳附中 李鸿昌
高考真题是高考命题人智慧的结晶，具有典型性和代表性.在高三一轮复习中，一线教师很有必要去研究高考真题.笔者在复习《选修4—5：不等式选讲》内容的过程中，遇到了一道经典而有趣的不等式证明题，经历课堂上笔者和学生思维的碰撞，得到了解决问题的多种角度，现整理成文，抛砖引玉，希望对同仁有所启发.
1.真题再现
2017年全国卷Ⅱ第23题如下：
该题题干简短精炼，内涵却很丰富.通过对该题的探究，不仅可以掌握不等式证明的方法和技巧，而且还可以领略其蕴含的数学思想方法.
2.解法探究
先探究第（1）问.
点评：第（1）问属于简单不等式的证明，常用的证明方法有：作差法、基本不等式和柯西不等式.要学会利用已知条件和对预证不等式进行适当的等价变形.
再探究第（2）问.
角度1：“不等式”. 利用基本不等式、柯西不等式及常见不等式.
角度2：构造“一元二次方程”，利用韦达定理和判别式.
角度3：“常用逻辑用语”. 反证法.
角度4：“函数”.利用函数的凹凸性、函数的单调性以及函数图象等.
角度5：“数列”.
角度6：“三角函数”.作三角代换.
角度7：“平面向量”.
角度8：“二项式定理”.
角度9：“解析几何”.
点评：通过几何画板作出直线与曲线的图象，利用数学结合思想可知，
从而使学生的数学思维从直观想象到逻辑推理，培养了学生直观想象和逻辑推理的核心素养.
角度10：“幂平均不等式”.
点评：由此可知，本题的背景是“幂平均不等式”，
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