挑战中考数学压轴题（精选中考题特训） / 开普饭

【解析】

(1)令y=0，即y=1/4x²-1/4(b+1)x+b/4=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；

(2)存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.设点P的坐标为(x，y)，连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y

轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标；

(3)存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知:要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可.

【点评】

此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想.

【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解.

【解析】

方法一:

(1) A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可.

(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等，可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标.注意:这样的平行线有两条，如答图1所示.

(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解.注意:这样的切线有两条，如答图2所示.

方法二:

(1)略.

(2)利用三角形面积公式，水平底与铅垂高乘积的一半得出D点的坐标.

(3)以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，F与直线I相切，通过连接切点，利用三角函数可求出切点坐标，从而求出直线l的解析式，注意两种情况，以防漏解.

【点评】

本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用.难点在于第(3)问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决.本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.

【解析】

(1)先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式.

(2)设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM-S△AOB即可进行解答；

(3)当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合.

【点评】

本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解.

【点评】

本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力.

【解析】

(1)已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得.

(2)①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据(1)中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值.

②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比.分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积

比例关系求出m的值.

【点评】

本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力.

【解析】

(1)由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；

(2)需要对点P的位置进行分类讨论:①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；

(3)当P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，分三种情况考虑:

①当P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；

②当P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；

③当P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t.综上得到所有满足题意的时间t的值.

【点评】

此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键

【解析】

方法一:

(1)根据抛物线的解析式可得出A、B、C、D的坐标，设AC解析式为y=k₁x+b₁(k₁≠0)，利用待定系数法求解即可.

(2)先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标.

(3)因为BD的长固定，要使△BDM的周长最小，只需满足BM+DM的值最小即可，作点B关于AC的对称点B'，连接B'D，则与AC交点即是点M的位置，然后利用相似三角形的性质求出B'的坐标，得出B'D的解析式，继而联立AC与B'D的解析式可得出点M的坐标.

方法二:

(1)先求出点A，C坐标，并求出直线AC方程.

(2)先用参数表示P点坐标，用坐标平移法表示出Q点参数坐标，把Q点坐标代入抛物线，求出Q点坐标.

(3)找出点B关于直线AC的对称点B'，根据斜率垂直公式，利用直线AC的斜率求出直线BB'的斜率，从而求出BB'的直线方程，与AC直线方程联立，并求出F点，再利用黄金法则五，求出B'坐标，最后求出B'D与AC的交点M.

【点评】

此题考查了二次函数的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答.

【解析】

(1)本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值.

(2)本题需先根据ENsin∠EMP=12/13，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP~△ABC，即可求出PE/AP=BC/AC，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域

(3)本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP~△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME~△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP~△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME~△ENB，求出a的值，得出AP的长.

【点评】

本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键.