三角形（十一）

三角形的三条线：角平分线、中线、高是很重要也很很神奇的三条线，结合着全等三角形我们来研究一下。

这三条线中，高是相对来说比较没有地位的，涉及到高的题目一般来说不会太难。因为处理高的办法比较多，还有面积可以帮助，但是中线和角平分线就会麻烦很多。举个例子，给定一个三角形，让你求高的长度，和求中线或者角平分线的长度，你是不是顿时觉得后面两个挺难求的？如果不用三角的方法确实不大好做，但是高的话你用一下勾股定理就出来了。

事实上，在和全等相关的那些问题中，有时候是中线的题目难，有时候是角平分线的题目难，我们来看一些具体的例子。

例1  已知△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，AG是∠BAC的角平分线，DH是∠EDF的角平分线，且AG=DH，求证：△ABC和△DEF两个三角形全等。

首先，既然有两个角相等，由三角形内角和定理知，第三个角必然相等。像这样直接得到的结论，就要标注在∠C=∠F的后面，同时，在图上做出标记，表示∠B=∠E，∠C=∠F，避免反复读题浪费时间。

数学学习中这样的刻意训练是必不可少的，这也是提高解题速度的一个基本方法，而角平分线的条件告诉我们，∠BAG=∠CAG=∠EDH=∠FDH。像这些能标记的都标上。

对于目标三角形来说，只有两个角的条件，缺一条边，所以肯定不能直接证明全等，但是对于△BAG和△EDH来说，全等的条件显然是够了，于是我们得到AB=DE，再结合∠B=∠E，∠C=∠F，命题得证。

如果我们把角平分线换成高，你会发现几乎是一样的作法，先通过两个小三角形全等得到AB=DE，然后大三角形全等。

自然的，下一个问题就是中线。

我们把题目做一些调整：已知AB=DE，AC=DF，AG和DH分别是对边上的中线，且BC=EF，求证△ABC全等于△DEF。

目标是什么？既然是两边对应相等了，所以要么证明∠BAC=∠EDF，要么证明BC=EF，证明其他角相等没用，SSA是没有办法判定全等的。

问题来了，怎么证？

我们会发现就像拳头打在棉花上一样软弱无力。这个中线的条件该怎么用？既不能直接给我们夹角相等，又不能给我们第三边相等——因为无论和哪条边搭配，始终都是两条边对应相等，不满足全等的条件，这时候该怎么办？

天空传来一个声音：中线嘛，倍长吧。

我们分别延长AG和DH一倍，使得GJ=AG，DH=HK，于是有△ABG全等于△JCG，△DEH全等于△KFH，然后呢？

然后当然是观察有没有能把两边联系起来的全等啊！

我们发现，AG倍长成AJ后，和DK是相等的，而AC=DF，CJ=AB=ED=FK，于是得到△AJC全等于△DKF，这是一个好兆头！因为我们要的就是这样的联系。

于是可以得到∠J=∠K，∠JAC=∠KDF，而∠J=∠BAG，∠K=∠EDH，相加就得到∠BAC=∠EDF了，目标得证。

这是中线比角平分线麻烦的例子，下一次我们来看角平分线比中线麻烦的例子。