数学语言与现实世界

从古希腊的“自然界是按数学规律设计的”， 到马克思的“一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步”，再到现代的“高技术就是数学技术”，人类社会的发展生动表明：人们正是在探究和应用数学的过程中深化对现实世界的认识。

正如工业革命时代燃烧煤炭以启动引擎，在今天信息时代我们燃烧的主要燃料则是数学！

一、

数系的扩充与代数基本定理

1.实数理论的建立

人们从樱花、蔷薇花、郁金香花等花中抽象出“花”这个名词，从樱花叶、蔷薇叶、郁金香叶等叶中抽象出“叶”这个名词。进而又将花、叶、茎以及狗、猫等一切都包括于所谓“这个”的代名词之中，即“这个”就是花、叶、茎以及狗、猫等一切的代表。与此类似，人们从1根木棒、1个橘子、1张纸等中抽象出数字“1”， 从2根木棒、2个橘子、2张纸等中抽象出数字“2”……进而又用文字a，b，c，…来代表所有的数。

就数系的扩充而言，首先从数量中抽象出数，抽象出数和常量的运算方法，抽象出函数和变量的运算方法；然后进一步用符号、概念和法则来表达以及合理解释运算方法；最终合理地建立和解释数系。

数学家说明了实数可以用有理数来描述，有理数可以用整数来描述，整数可以用自然数来描述，自然数可以用集合来描述，从而回答了“数是什么”这个问题。

自然数是人类最早认识的数系，但建立自然数公理系统却是19世纪末的事情。1889年，意大利数学家皮亚诺（Giuseppe peano，1858—1932）给出了如下的自然数公理：

（1）0是自然数；

（2）每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如：1'=2，2'=3等等。）；

（3）0不是任何自然数的后继数；

（4）不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；

（5）自然数的某个集合若含有0，而且如果含有一个自然数a就一定含有a' ，那么这个集合含有全体自然数。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性）

我们可以从皮亚诺公理系统出发，定义并进一步采用严格的逻辑演绎方法证明我们熟悉的自然数的一系列运算法则。

实数理论的最终建立依赖于极限理论的发展与完善。在义务教育教科书里，我们是把有理数定义为分数，而所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数，所以我们可以把有理数定义为：有理数是有限小数或者无限循环小数。进而得到无理数的定义：无理数是无限不循环小数。无理数的这种定义比较直观，但对于证明和给出一般性的结果却不方便（例如，在这种定义下，我们就无法证明：

为了解决这一矛盾，康托给出了用基本序列方法定义实数的方法：称一个满足柯西准则的数列为基本序列，一个有理数可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示（比如，这个数列的所有项都是这个有理数）；一个无理数也可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示

因此，一个实数可以对应于一个基本序列。于是可以把实数定义为：基本序列的极限为实数。如果两个基本序列的极限相等，康托称其为等价类。这样，一个实数与一个由基本序列组成的等价类一一对应。

为了实数理论的完备，需要证明“实数与数轴上的点一一对应”，这样就需要证明实数的连续性，而用基本序列的方法来证明是困难的，因为基本序列在本质上仍然刻画的是独立的点。德国数学家戴德金（R.Dedekind，1831—1916）提出利用集合分类的方法来定义实数——戴德金分割，解决了这一矛盾。

2.复数的引入

实数a与数轴上的点一一对应，在笛卡尔坐标系中，实数对(a,b)与平面上的点一一对应。

可以用一对实数(a,b)定义一个新数。我们定义其加减乘除运算如下：

(a,b)±(c,d)＝(a±c,b±d)

(a,b)×(c,d)＝(a×c－b×d,a×d＋b×c)

由加法法则可得

(a,b)＝(a,0)＋(0,b)

在笛卡尔坐标系中，(a,0)是x轴上的点，对应普通实数，(0,b)是y轴上的点，对应“扩张”部分。

由乘法法则可得

(0,1)×(0,1)＝(－1,0)

我们把(0,1)用i表示，称为虚数单位。即

(a,0)等于实数a，我们把(0,b)称为纯虚数，写作ib。因此，(a,b)可以表示为

(a,b)＝(a,0)＋(0,b)＝a＋ib

称之为复数。

在空间坐标系中，三元数组(a,b,c)与空间的点一一对应，自然我们会思考：是否可以进一步扩展数的概念，把三元数组(a,b,c)定义成一个新数呢？19世纪的爱尔兰数学家和物理学家威廉·哈密尔顿对这个问题展开了研究，提出了“四元数”的概念。

如果说自然数是来源于对数量的刻画，有理数是来源于对比例的刻画，无理数是来源于对长度的刻画，那么，复数则是人为的，在现实生活中找不到实际背景。但复数却是人类制造的一个描摹自然界规律的锐利武器：物理学中规范场，在实数情形下没有意义，杨振宁和米尔斯将复数引入，规范场便成为物理学的重要基础理论；陈省身研究复流形，开创了大范围微分几何。

3.代数基本定理

在自然数范围内，方程x＋5＝0无解。为了解这一类方程，需要把自然数扩展到整数。

在整数范围内，方程2x＋3＝0无解。为了解这一类方程，需要把整数扩展到有理数。

为了解这一类方程，需要把有理数扩展到实数。

为了解这一类方程，需要把实数扩展到复数。

到此，你也许会认为：在数系扩充过程中，每进入一个新的数系后，总可以找到一类无法解出的方程。但是，当引入复数后，这个情况终止了。因为有如下的代数基本定理：

任意多项式方程

二、

方程的根式解与群论

1.正三角形的对称性与群

正三角形在以重心为中心按逆时针旋转120°或240°后，都能与初始的图形重合。如图1，将正三角形的顶点编号，分别记作1、2、3。正三角形以重心为中心按逆时针旋转120°，相当于是将顶点1移至顶点2、顶点2移至顶点3、顶点3移至顶点1的过程。

图1

如何旋转正三角形是由其3个顶点的移动决定的，因此，上述旋转可以表示为

如图2，围绕顶点1垂直于对边23的垂线旋转180°，也能与初始的图形重合。此时，顶点1的位置不变，顶点2和顶点3的位置互换。

图2

此旋转可以表示为

正三角形的对称性分为“围绕重心的旋转”和“围绕高线的旋转”，共有如下6种情况：

第1排分别对应围绕重心旋转0°、120°、240°，第2排分别对应围绕高线旋转180°。如果对正三角形连续实施2次旋转，可以记作如下形式：

上述等式表示：正三角形围绕重心旋转120°后再围绕过顶点1的高线旋转180°，最后等于围绕过顶点2的高线旋转180°。可以验证这种乘法满足封闭律、结合律、幺元律、逆元律，也就是说，正三角形的对称变换组成一个“三次对称群”。

将围绕重心旋转120°记作

将围绕过顶点1的高线旋转180°记作

这样，正三角形的对称群的6个元素可以表示为：

2.方程的根式解

人类从古巴比伦时期起就一直在研究方程的求根公式。虽然发现了解三次方程的卡尔达诺公式和解四次方程的费拉里公式，不过经过之后几个世纪的努力也未能发现五次方程的求根公式。在摸索如何才能发现五次方程求根公式的过程中，出生于18世纪法国大革命期间的数学家拉格朗日开始重新思考为什么二次、三次、四次方程存在求根公式，并尝试用对称性的概念来说明方程求根公式的意义。后来，出生于挪威的数学家阿贝尔证明了不存在五次方程的求根公式，伽罗瓦发现了对于任何次数的方程能否用幂根解该方程的判定方法。

（1）二次方程的求根公式

可以将二次方程的首项系数化为1，因此，二次方程可以表示为

对两个根的轮换来说，组成一个“二次对称群”，用符号S2表示。

是两个根的组合，而且在根的轮换中维持不变，同时都可以用方程的系数a、b表示：

由此可以得出二次方程的求根公式。

（2）三次方程的求根公式

三次方程可以表示为

从而可得

对三个根的轮换来说，组成一个“三次对称群”，这个群与正三角形的旋转对称群相同，用符号S3表示。

设

其中

由此可得

是三个根的组合，而且在根的轮换中维持不变，同时都可以用方程的系数a、b、c表示：

其中，

（3）方程可用根式求解的意义

二次方程和三次方程之所以可用根式解，其原因在于对称群 S2、S3。二次方程相对比较简单，无法凸显对称性的作用。三次方程可用根式解的根本原因是三次对称群S3可以分解成两个“循环群”：

进而可以在三次对称群S3 中找到三次方程的根的不变组合

而这些组合都只使用了平方和立方，所以只要开平方或开立方就能解出三次方程。

对于四次方程，四次对称群S4可以分解成四个“循环群”：

进而可以在四次对称群S4中找到四次方程的根的不变组合，从而就可得出四次方程的求根公式。

对于五次方程，五次对称群S5可以分解成两个“循环群”：

而正二十面体旋转对称群不能再分解。这样，在五次对称群S5中就找不到五次方程的根的不变组合。所以五次方程就不能用根式求解。

在研究方程的根式解中产生的群论，今天已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家广泛用来研究几乎所有的对称性问题。爱因斯坦根据物理定律必须具有对称性的原理，创立了狭义相对论和广义相对论。在化学和物质科学领域，科学家运用群的概念区分分子和结晶的结构。在基本粒子理论中，群的语言是理解基本粒子及其力量必不可少的工具。

三、

平行公设与非欧几何

《几何原本》给出了5条公设：

（1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。

（2）一条有限直线可以继续延长。

（3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。

（4）凡直角都彼此相等。

（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

显然第5公设与其他公设不同，它的行文较长，远不是那种不证自明的真理。有证据表明，欧几里得本人在《几何原本》第1卷的演绎证明中一直尽力避免应用这一平行公设，在前28个命题的证明过程中，他对其他公设都运用自如，而唯独一直没有使用第5公设。第5公设与平行公理等价：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。几个世纪以来，人们对第5公设的质疑不绝于耳，主要有如下三种态度：

一是试图用其他4条公设证明第5公设；

二是尝试用一条更清晰、简洁的假设来代替它；

三是试图回答一个令人困惑的猜想：如果它是假的呢？

实际上，人们早就知道存在不符合欧几里得公理的几何图形，即球面上的几何。公元1世纪的数学家梅涅劳斯在其著作《球面学》第一卷中就讨论了球面上的直线和三角形分别对应何物。在平面内，直线段是两点之间最短的距离，这是直线的根本性质。在球面上，两点之间的最短距离刚好是“大圆”的一部分。大圆是指通过球中心的平面与球面相交而得到的圆。航空公司就是利用这一特性来确定飞行航线的。比如，从美国到欧洲的国际航班的飞行线路并不是我们在地图上看到的直线，而是一段向北的大圆弧。大圆是球面直线，它拥有所有直线的特性。如图3，由三个大圆所围成的图形是球面三角形，球面三角形的内角和大于180°。

图3

在球面几何中平行公理不成立。因为通过球中心的两个不同的平面必定相交，这两个平面与球面相交所得的大圆也必定相交，即两条不同的直线无法平行。

如果欧几里得第5公设是错误的，则有如下两种情况：

情况一：过直线外一点没有直线平行于已知直线；

情况二：过直线外一点有多于一条直线平行于已知直线。

从情况二出发，1829年俄罗斯数学家罗巴切夫斯基建立了双曲几何；从情况一出发，1854年黎曼建立了椭圆几何。欧氏几何、双曲几何、椭圆几何的区别如图4所示。

图4

黎曼把非欧几何的概念推向了更为广泛的天地——他把这类几何引入三维、四维，甚至维度更高的空间曲面中。在这个过程中，黎曼拓展出了一个关键概念——曲率。曲率标识了曲线或曲面的弯曲比率。黎曼提出了任意多维空间中的曲率的精确数学定义。通过这一定义，黎曼让最早由笛卡尔提出的“几何与代数的结合”变得更为紧密。在黎曼的研究中，包含任意多个变量的方程式都能在几何学中找到自己的对应，而高级几何中的新概念也成了方程式的一部分。

在一个小的、人的尺寸比例范围内——包含地球表面的一部分或全部的规模——牛顿物理学提供了一个完全符合观察得到（和度量得到）的证据的理论框架，而欧氏几何、双曲几何、椭圆几何在这种情况下都适用。在一个较大的尺寸比例范围内——从太阳系到银河以及更远的情况——爱因斯坦的相对论提供了一个比牛顿框架更接近观察到的数据。在这个尺寸比例规模内，非欧几何更为恰当。使用哪种非欧几何，要看人们对于宇宙理论的选择。如果我们假设宇宙现在的扩张有一天会停止并开始收缩，那么黎曼几何就是最恰当的；如果我们认为宇宙会无穷地扩张，那么双曲几何则更合适。虽然非欧几何一开始纯粹是抽象、公理化的理论发展，在真实世界里看起来没有什么用，但半个世纪之后却被证明比欧氏几何更适合用来研究大规模比例的宇宙。

四、

数学世界与物理世界

数学的发展表明：数学世界和物理世界之间有着神秘的、意想不到的相互影响。伽利略和其他意大利经验主义者发现了下落物体的运动规律，开普勒确定了行星的运动规律，牛顿把他们的研究统一在了一起，并提出了用数学语言描述的普适的引力定律。在这个过程中，牛顿顺势发展出了一门全新的数学分支——微积分，让他能简洁、条理清晰地表达引力和运动规律的所有属性。不过，牛顿没有回答一个重要的问题：引力是如何真正起作用的？

爱因斯坦狭义相对论的核心支柱理论认为，任何物体、能量或信息的运动速度都不可能超过光速。这似乎与牛顿的万有引力定律产生了直接冲突。爱因斯坦下决心找一种全新的引力理论，这种力量不仅要保留牛顿理论非同凡响的成功之处，而且还要解释引力是如何起作用的，同时还要和狭义相对论兼容。爱因斯坦经过不懈努力终于在1915年创立了广义相对论。

爱因斯坦的革命性见解的核心思想是，引力只不过是时间和空间的“织物”中的扭曲。根据爱因斯坦的观点，行星沿着空间扭曲中的弧形路径做曲线运动，而这种弧形路径就代表着太阳的引力。换句话说，当物质不存在，或缺乏其他能量形式时，时空（三维空间与一维时间的统一）将是“平坦的”。在解决了引力是“如何起作用的”这个问题的同时，爱因斯坦还为“引力传播速度有多快”这个问题提供了框架性解决方案。实际上，关键是要测定这种扭曲在时空中能以多快的速度传播。爱因斯坦的研究表明，在广义相对论中，引力的传播速度与光速完全相同，这就消除了牛顿理论与狭义相对论之间的矛盾。

物理学家一直想通过引力的量子理论，在最大（整个宇宙）和最小（亚原子）的鸿沟之间架起一座桥梁，即将广义相对论和量子力学协调统一。目前看来，弦论似乎最有可能完成这一使命。弦论的基本思想是：基本的亚原子微粒，如电子和夸克，并不是一种没有结构的点状实体，而是表现为相同的弦在振荡时的不同样式。

数学中的纽结理论创建的主要起因是19世纪发展起来的一种错误的原子结构模型。这个模型在提出20年后就被证明是错误的，但纽结理论却在不断发展。而且出人意料的是，弦论和纽结理论形成了一种完美的共生关系：一方面，弦论从纽结理论的研究中受益；另一方面，弦论又促进了纽结理论的新发展。而且弦论学家发现，要在更广阔的范围内解释物质的最基本构成，纽结理论至少可以提供一部分答案。

从数学发展的历程中我们可以清楚地看到：数学各分支在人类试图解释现实世界的过程中产生，随后进入数学的抽象王国，并在其中得到发展，最终又出人意料地回到现实世界，成为人们认识现实世界的武器。这刚好对应抽象、推理、建模三种数学思想。因此，数学教学应着力提高学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学学科核心素养，引导学生自觉用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考现实世界、用数学语言表达现实世界。

参考文献

[1]  [日] 大栗博司. 用数学的语言看世界[M]. 龙斌斌，译. 北京：人民邮电出版社，2017.

[2]  [美] 马里奥·利维奥. 最后的数学问题[M]. 黄征，译. 北京：人民邮电出版社，2019.

[3]  [美] 齐斯·德福林. 数学的语言——化无形为可见[M]. 洪万生，洪赞天，苏意雯，译. 南宁：广西师范大学出版社，2013.