一个令人困惑的悖论，你明知它是错的，但却很难反驳

古希腊数学家、哲学家芝诺（Zeno）曾经提出不少的与运动有关的悖论，其中的“芝诺龟”被称为物理学的“四大神兽”之一，到底是怎么回事呢？我们先来了解一下。

芝诺

阿基利斯是一位古希腊神话中的人物，被称为“特洛伊战争”中最强、最勇敢的战士，传说他武力惊人，速度更是快如疾风。然而在芝诺提出的悖论中，这位传奇人物居然永远都追不上一只慢吞吞的乌龟（即“芝诺龟”）。

这个悖论的设定是，1、阿基利斯比“芝诺龟”跑得快得多；2、当“芝诺龟”跑出一段距离后，阿基利斯才开始追。根据我们的常识来说，在这种设定下，阿基利斯必定会追上“芝诺龟”，但芝诺却不这么认为。

如上图所示，假设“芝诺龟”跑到了B点后，阿基利斯才开始追，当阿基利斯追到B点时，“芝诺龟”又向前跑了一段距离，到达了更远的C点（注意这时阿基利斯并没有追上“芝诺龟”），同样的，当阿基利斯追到C点时，“芝诺龟”又前进到了D点，当阿基利斯追到C点时，“芝诺龟”又前进到了E点……

就这样，虽然阿基利斯和“芝诺龟”之间的距离在不断地减小，但是因为“芝诺龟”在不断地前进，所以在每次阿基利斯追到“芝诺龟”上一个落脚点的时候，“芝诺龟”所在的位置总是会在这个落脚点的前面一点，因此可以说，阿基利斯永远都追不上“芝诺龟”。

如果你仔细做一下这个思想实验，你就会发现“芝诺龟”是一个令人困惑的悖论，你明知它是错的，但却很难反驳。也许你会认为，只需要随便做一个实验，就可以反驳这个悖论，但显而易见的是，芝诺本人肯定也是知道现场实验结果的，而“芝诺龟”之所以被称为悖论，正是因为理论上的结果和实验的结果不一致。

因此我们必须要在理论上来反驳“芝诺龟”才行，比如说利用量子理论就可以证明“芝诺龟”是错误的，量子理论认为，时间和空间并不是可以无限拆分的，它有一个极限值，即普朗克时间（10^-43 秒）以及普朗克长度（1.6 x 10^-35 米）。

我们可以据此得出，在阿基利斯和“芝诺龟”赛跑的过程中，当他们之间的距离达到了普朗克长度，或者阿基利斯跨越这个距离所用的时间达到了普朗克时间的时候，阿基利斯在下一个普朗克时间就会追上“芝诺龟”。除此之外，利用高等数学同样也可以证明“芝诺龟”是错误的，这里略过不提（主要是这玩意儿太烧脑）。

但芝诺所处的时代并没有量子理论和高等数学，也就是说，我们似乎应该用更加简单的方式来反驳“芝诺龟”，那么应该怎么来做呢？其实还是有办法的，下面我们就来捋一捋。

先假设阿基利斯的速度为每秒钟11米，“芝诺龟”的速度为每秒钟1米（注：正常的乌龟是爬不出这个速度的，不过“芝诺龟”既然被称为物理学的“四大神兽”之一，那么它能爬出如此高速也可以算是正常的），然后再假设当阿基利斯开始追的时候，“芝诺龟”与他之间的距离是10米。

根据以上设定，我们通过一个简单的公式 t = L/(v1 + v2）就可以轻易地计算出，阿基利斯只需要用1秒的时间就可以追上“芝诺龟”。但芝诺却是这样计算的：当阿基利斯跑到第一个点的时候，他用了10/11秒的时间，跑到第二个点的时候，他又用了10/11^2，也就是10/121秒的时间，跑到第三个点的时候，他又用了10/11^3，也就是10/1331秒的时间，其他的以此类推。

芝诺给我们表达了一个观点，即阿基利斯需要在上述的每一个时间段里，都会进行一个追上“芝诺龟”的步骤，因为时间在无限地分割，所以阿基利斯重复这个步骤的次数也是无限的，既然阿基利斯无限地重复这个步骤，那么他就永远都追不上“芝诺龟”。

问题就出在这个“永远”上，所谓“永远”是指无限长的时间。但假如你不断地将上述的时间段加起来，就会发现不管怎么加，它的值只会无限地接近1，但绝对不会等于或者大于1（为什么会这样呢？这是因为在我们的直觉里，通常都会觉得无限多的正数加起来，必定会是无限大）。

这就意味着，在阿基利斯追上“芝诺龟”之前，不管他重复了多少次这个步骤，他所用的时间都是小于1秒的（很显然，这并不能称之为“永远”）。也就是说，这个悖论可以转化为：在不到1秒的时间内，阿基利斯是永远追不上“芝诺龟”的。

那么现在我们就可以得出一个结论：这是一个理所当然的现象，根本就不能称之为悖论。看到这里，相信大家已经不再困惑了，这其实就是芝诺在这个悖论里设置了一个巧妙的陷阱，在不知不觉中，我们就掉了进去。