一个令人困惑的悖论,你明知它是错的,但却很难反驳

古希腊数学家、哲学家芝诺(Zeno)曾经提出不少的与运动有关的悖论,其中的“芝诺龟”被称为物理学的“四大神兽”之一,到底是怎么回事呢?我们先来了解一下。

芝诺

阿基利斯是一位古希腊神话中的人物,被称为“特洛伊战争”中最强、最勇敢的战士,传说他武力惊人,速度更是快如疾风。然而在芝诺提出的悖论中,这位传奇人物居然永远都追不上一只慢吞吞的乌龟(即“芝诺龟”)。

这个悖论的设定是,1、阿基利斯比“芝诺龟”跑得快得多;2、当“芝诺龟”跑出一段距离后,阿基利斯才开始追。根据我们的常识来说,在这种设定下,阿基利斯必定会追上“芝诺龟”,但芝诺却不这么认为。

如上图所示,假设“芝诺龟”跑到了B点后,阿基利斯才开始追,当阿基利斯追到B点时,“芝诺龟”又向前跑了一段距离,到达了更远的C点(注意这时阿基利斯并没有追上“芝诺龟”),同样的,当阿基利斯追到C点时,“芝诺龟”又前进到了D点,当阿基利斯追到C点时,“芝诺龟”又前进到了E点……

就这样,虽然阿基利斯和“芝诺龟”之间的距离在不断地减小,但是因为“芝诺龟”在不断地前进,所以在每次阿基利斯追到“芝诺龟”上一个落脚点的时候,“芝诺龟”所在的位置总是会在这个落脚点的前面一点,因此可以说,阿基利斯永远都追不上“芝诺龟”。

如果你仔细做一下这个思想实验,你就会发现“芝诺龟”是一个令人困惑的悖论,你明知它是错的,但却很难反驳。也许你会认为,只需要随便做一个实验,就可以反驳这个悖论,但显而易见的是,芝诺本人肯定也是知道现场实验结果的,而“芝诺龟”之所以被称为悖论,正是因为理论上的结果和实验的结果不一致。

因此我们必须要在理论上来反驳“芝诺龟”才行,比如说利用量子理论就可以证明“芝诺龟”是错误的,量子理论认为,时间和空间并不是可以无限拆分的,它有一个极限值,即普朗克时间(10^-43 秒)以及普朗克长度(1.6 x 10^-35 米)。

我们可以据此得出,在阿基利斯和“芝诺龟”赛跑的过程中,当他们之间的距离达到了普朗克长度,或者阿基利斯跨越这个距离所用的时间达到了普朗克时间的时候,阿基利斯在下一个普朗克时间就会追上“芝诺龟”。除此之外,利用高等数学同样也可以证明“芝诺龟”是错误的,这里略过不提(主要是这玩意儿太烧脑)。

但芝诺所处的时代并没有量子理论和高等数学,也就是说,我们似乎应该用更加简单的方式来反驳“芝诺龟”,那么应该怎么来做呢?其实还是有办法的,下面我们就来捋一捋。

先假设阿基利斯的速度为每秒钟11米,“芝诺龟”的速度为每秒钟1米(注:正常的乌龟是爬不出这个速度的,不过“芝诺龟”既然被称为物理学的“四大神兽”之一,那么它能爬出如此高速也可以算是正常的),然后再假设当阿基利斯开始追的时候,“芝诺龟”与他之间的距离是10米。

根据以上设定,我们通过一个简单的公式 t = L/(v1 + v2)就可以轻易地计算出,阿基利斯只需要用1秒的时间就可以追上“芝诺龟”。但芝诺却是这样计算的:当阿基利斯跑到第一个点的时候,他用了10/11秒的时间,跑到第二个点的时候,他又用了10/11^2,也就是10/121秒的时间,跑到第三个点的时候,他又用了10/11^3,也就是10/1331秒的时间,其他的以此类推。

芝诺给我们表达了一个观点,即阿基利斯需要在上述的每一个时间段里,都会进行一个追上“芝诺龟”的步骤,因为时间在无限地分割,所以阿基利斯重复这个步骤的次数也是无限的,既然阿基利斯无限地重复这个步骤,那么他就永远都追不上“芝诺龟”。

问题就出在这个“永远”上,所谓“永远”是指无限长的时间。但假如你不断地将上述的时间段加起来,就会发现不管怎么加,它的值只会无限地接近1,但绝对不会等于或者大于1(为什么会这样呢?这是因为在我们的直觉里,通常都会觉得无限多的正数加起来,必定会是无限大)。

这就意味着,在阿基利斯追上“芝诺龟”之前,不管他重复了多少次这个步骤,他所用的时间都是小于1秒的(很显然,这并不能称之为“永远”)。也就是说,这个悖论可以转化为:在不到1秒的时间内,阿基利斯是永远追不上“芝诺龟”的。

那么现在我们就可以得出一个结论:这是一个理所当然的现象,根本就不能称之为悖论。看到这里,相信大家已经不再困惑了,这其实就是芝诺在这个悖论里设置了一个巧妙的陷阱,在不知不觉中,我们就掉了进去。

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