我们批判竞赛,禁止奥数,不是说竞赛这件事本身有问题,而是我们把竞赛泛化了。就数学竞赛本身而言,知识面更宽、思想更深刻、方法更全面、视野更大,这对于热爱数学,立志成为数学家的学生太有价值了。全国高中数学联赛分为一试二试,其中一试 8:00——9:20,8 道填空题和 3 道解答题,满分 120 分,考查学生思维的灵活性和敏捷性,二试 9:40——12:10,4 道解答题,满分 180 分,考查学生思维的深刻性,对数学学习拔尖学生的区分也是非常好的。当我们把计数的方法,从分类分步两个基本原理、简单的排列组合知识、枚举法等延伸出去时,会看到“映射”、“递推数列”、“容斥原理”、“不定方程”、“算二次”、“母函数”、“折线法和反射原理”,甚至“群论”的知识和思想方法。例.在一个书架上共有 16 本书,其中有 4 本相同的语文书,3 本相同的数学书,4 本相同的英语书,5 本相同的物理书,则从中任取 12 本书,有多少种方法?【试题定位】这个题涉及相同元素的组合问题,有一定难度,在高考中出现的概率比较小。
此题用母函数法不一定优化,但却是一种新的方法。母函数法求系数和级数知识相联系,再一次拓展了学生的视野。
二、数学史、科学史——更大的框架和格局
(一)数学史
莫里斯·克莱因既是数学家又是数学教育家,对数学哲学和数学史有着相当深入的研究,同时涉足几个领域,其编著的《古今数学思想》把我们置于了整个数学发展史去思考,在前言中这样写道:专业的数学家今天不得不把这么多的时间和精力倾注到他的专题上去,使得他没有机会去熟悉他学科的历史。而实际上,这历史背景是重要的,现在的根深扎在过去,而对于寻求理解“现在之所以成为现在这样子”的人们来说,过去的每一件事都不是无关的。再者,虽然数学大树已经伸展出成百的分支,它毕竟是一个整体,并且有它自己的重大问题和目标。如果一些分支对专题对于数学的心脏无所贡献,它们就不会开花结果。我们的被分裂的学科就面临着这种危险;跟这种危险作斗争的最稳妥的办法,也许就是要对于数学的过去成就、传统和目标得到一些知识,使得能把研究工作导入有成果的渠道。如同希尔伯特所说的:“数学是一个有机体,它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合。”对于学数学的学生来说,本书还会另有好处。通过一些课程所介绍的是一些似乎没有什么关系的数学片段。历史可以提供整个课程的概貌,不仅使课程的内容相互联系,而且使它们跟数学思想的主干也联系起来。在一个基本方面。通常的一些数学课程也使人产生一种幻觉,它们给出一个系统的逻辑叙述,使人们有这种印象:数学家们几乎理所当然地从定理到定理,数学家能克服任何困难,并且这些课程完全经过锤炼,已成定局。学生被湮没在成串的定理中,特别是当他正开始学习这些课程的时候。历史却形成对比,它教导我们,一个科目的发展是由汇集不同方面的成果点滴积累而成的。我们也知道,常常需要几十年,甚至几百年的努力才能迈出有意义的几步。不但这些科目并未锤炼成无缝的天衣,就是那已经取得的成就,也常常只是一个开始,许多缺陷有待填补,或者真正重要的扩展还有待创造。
(二)科学史
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