巧用旋转添加辅助线

倘若线段不在同一直线上，那么如何去寻找线段间的数量关系呢？我们可以巧妙运用旋转，通过合理构造全等三角形，从而达到转化线段的目的。

解法分析：本题的问题是探索线段EF、DF和BE之间的数量关系。由于这三条线段不在同一条直线上，因此问题的关键就是将这三条线段转化到一直线上。本题的第1问和第2问虽然背景不同，但其前提条件为AB=AD，∠B+∠D=180°，因此可以通过旋转▲ABE和▲ADF，达到线段转化的目的。本题的第3问是第二问的延伸，只要紧扣AO=BO，∠AOB=2∠EOF，就可以将问题迎刃而解了。

除了上图的添线方法外，本题的第(1)(2)问还可以旋转▲ADF，达到异曲同工之处。同时我们观察到：当题目中出现相等的线段，或者互补的角时，往往可以考虑通过旋转某一个三角形构造全等三角形，继而形成线段的转化。

本题的一个典型特点就是出现了“半角模型”，如下图所示：

解法分析：本题的问题是探索线段间的数量关系，问题背景建立在等腰直角三角形。本题的第1问比较简单，线段等量关系的确立，目前只能依赖于构建全等三角形，依据对应边相等得到AM=CN，因此联结AO，即可得到▲AMO≌▲CON.本题的第2、3问和问题背景一比较相仿，解决的途径仍旧是依靠将这些线段转移到同一直线上，达到线段转化的目的。第1问的解题路径为2、3两问的解决提供了有利的方案，并且辅助线的添线方法和视角是不唯一的。

除了在线段AB上构造BP=AN外，也可以在线段AC上构造BM=CN，这种辅助线的添线方式本质上是旋转的思想；而构造ON⊥OP或OM⊥OP，都是借助了第1问中“等腰直角三角形+斜边中点”的基本图形展开的。

第3问虽然N在CA的延长线上，但是添线的思路依旧是不变的，本问也可利用垂直的方法添加辅助线，但是利用旋转构造更显得水到渠成。

值得注意的是，本文中的问题背景一和问题背景二，都是建立在同一题组背景下图形的变化，虽然条件有所差异，但是问题解决的路径和思路还是一致的。

因此当我们在面对类似背景的压轴题时，不妨先关注基础问题中的基本图形，如背景一中的“半角模型”以及背景二中的““等腰直角三角形+斜边中点”的基本图形”，联想基本图形的特征。同时结合问题解决的路径：借助旋转达到构造全等三角形，从而实现线段的转化目的。

☑️作业单链接：巧用旋转添加辅助线(八年级)习作单