数学方法——形式与内容

数学的研究对象是形式化的思想材料,其内容反映着事物的数量变化规律。研究形式与内容这对范畴是数学方法的开端。

现实中任何一个事物都有形式和内容这两个侧面。一般来说,内容决定形式,而形式又积极影响内容。

在形式与内容这一对范畴中,数学方法从数量方面揭示形式的多样性。可以说运动事物在数量上和空间上的形式正是数学研究的对象。

数学具有高度抽象性,毋容置疑,但是它的抽象特点是什么?应该说是数学的形式化。“为要能够研究这些形式及其关系的纯粹情形,那么就应该完全把它们与其内容相分裂,把内容暂置不管,当作无所可否的东西”。原苏联数学家辛钦说“一切数学学科的决定性特点总是某种形式化的方法”。

数学抽象的另一个特点是研究思想材料。比如,世界上本来并没有“二次方程”这个实物,“二次方程”是人们研究数量关系产生出来的思想材料。没有人,就不会有自然数、函数和勾股定理,与此相对照的是,自然科学研究的是大自然本身,是客观存在的物质运动。

总之,数学的研究对象是形式化的思想材料,整个数学是一个形式化的思想体系。数学科学也正因此而和自然科学有质的不同。

数学方法的重要性之一,在于它能为科学研究提供简明精确的形式化语言。一门学科使用数学的形式语言越多,表明这门学科越成熟。从早期的计数法到四则运算,创造了“+”、“-”、“×”、“÷”、“=”的符号语言。阿拉伯人的代数语言给出了方程式、二次曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0可以描绘行星运动及许多其他事物。牛顿(I.Newton)创立微积分,又发明了一套微积分语言,用微分方程描述麦克斯韦(Maxwell)电磁场,最后又导致ε-δ语言的产生。今日的拓扑学,用一套同伦、同调的语言来表述。数理逻辑则是一套形式的符号语言。计算机的出现,又从数学借用并发展出一套形式化的机器语言。

数学的形式化特点,并不是它没有内容,仅仅是一堆毫无意义的符号堆砌。数学的内容在于它能反映事物的数量变化规律。而且说到底,数学(作为一种形式)是否重要和有意义,仍是由它所反映的内容所决定的,反映得越深刻越准确,数学成果的价值就越大。数学有“好的数学”和“不太好的数学”,甚至“坏的数学”之分,其检验标准仍是由现实内容所规定的。现在全世界每年要发表几万篇数学论文。能够流传下来的为数很少。并不是这些论文的“证明”不严格,它的结论并不错,只是它的形式不能更好地表示内容,因而被冷落了,被扬弃了,或者被更好的数学形式所涵盖了,所替代了。

既然数学是一种数量形式,就有一个阻碍内容发展还是促进内容发展的问题。对于一个人来说也是如此,假如一位中学生,学了很多数学形式,却不会用三角函数去描述周期运动,用对数去计算复利,用统计方法去解释为什么在评分时要“去掉最高分与去掉最低分”,那么,数学形式的题目解得再好,却脱离了现实内容,结果产生了不适应:形式和内容脱节。另一方面,当代的科学技术提出了许多新的数学问题,例如非线性问题,混沌与分形,低维拓扑,人工智能,计算机复杂性等等,而我们不去适应发展着的内容,尽做一些意义不大的推广和雕琢,形式也会脱离内容。

哲学告诉我们,形式与内容这一对矛盾中,内容是积极的,最活跃的,居第一位的,形式则相对稳定,比较“保守”。当我们认识到数学是一种形式的时候,更应注意数学所反映的内容,以便积极地反映现实事物的数量发展,与此同时,也充实了数学自身的形式和内容。

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