数学都知道 ——arXiv专辑（2021.9.2）

使用 Python 张量收缩包快速评估有限元弱形式

Fast Evaluation of Finite Element Weak Forms Using Python Tensor Contraction Packages
https://arxiv.org/abs/2107.04121

在有限元计算中，积分形式通常使用元素上的嵌套循环和数值积分点上的嵌套循环来计算。许多这样的形式（例如线性或多重线性）可以通过采用爱因斯坦求和符号使用单个张量收缩表达式以紧凑的方式表达，无需显式循环。为了自动化这个过程并利用现有的高性能代码，我们首先引入了一种符号，允许对多线性有限元形式进行微分。在此基础上，我们提出并描述了一个新的转译器，从基于爱因斯坦求和的表达式，扩展到允许定义多线性有限元弱形式，到规则的张量收缩表达式。

在GeoGebra中使用牛顿方法

Newton's Method with GeoGebra
https://arxiv.org/abs/2107.04453

本文在计算环境 GeoGebra 中展示了一个程序，它可以对牛顿方法进行图形研究。使用此计算设备，作者将分析应用于各种实际函数示例的牛顿法收敛性。然后，将给出在GeoGebra 中程序构建的指南。

使用模板引擎作为计算机代数工具

Using a template engine as a computer algebra tool
https://arxiv.org/abs/2107.07461

在涉及使用数值方法求解常微分方程 (ODE) 系统的研究问题中，通常需要为特定问题选择最有效的方法。为了解决 ODE 系统的柯西问题，使用了龙格－库塔方法（显式或隐式方法，有或没有步长控制等）。在这种情况下，需要搜索数值方法的许多实现并选择其数值方案的系数或其他参数。本文提出了一个脚本库，用于在 Julia 编程语言中为龙格－库塔方法的一组数值方法自动生成函数程序。

史蒂芬·沃尔夫勒姆：欧几里得及以后的经验元数学

The Empirical Metamathematics of Euclid and Beyond
https://arxiv.org/abs/2107.07337

作为经验元数学的一个例子，我们详细研究了欧几里得《几何原本》中 465 个定理的依赖结构。我们将类似的方法应用于更详尽地研究逻辑中可能的定理，以及分析项目中的依赖结构以形式化现代纯数学。我们讨论了通过数学的历史进步识别元数学空间的内在特征及其探索特征的过程。继续阅读：https://writings.stephenwolfram.com/2020/09/the-empirical-metamathematics-of-euclid-and-beyond

围绕希尔伯特定理：用直尺无法画出圆心

Around Hilbert's theorem: the center of a circle is not constructible by straightedge alone
https://arxiv.org/abs/2107.09747

希尔伯特曾经在一次课上证明了，用直尺是无法画出一个圆的中心的，但他没有发表他的证明。D. Cauer推广了希尔伯特的结果，他证明了如果两个圆不相交也不共心的话，用直尺是不能画出两个圆的中心。如果两个圆相交或共心，则可以用直尺画出圆心。可惜，Cauer的结果是错误的。在一定条件下，用直尺确实可以画出圆心；但也确实存在不能画出圆心的情况。

关于用一根折断木棍形成多边形的概率

On the probability of forming polygons from a broken stick
https://arxiv.org/abs/2107.09604

把一根木棍在个点上截断就得到了段。我们要用其中的段做成一个边形。这样做是可能的吗？本文试图给出一个通用的公式来回答这个问题。

极度组合学中的交叉点问题：定理，技巧和新旧问题

Intersection Problems in Extremal Combinatorics: Theorems, Techniques and Questions Old and New
https://arxiv.org/abs/2107.06371

极度组合学是组合学的一个领域。极度组合学研究有限对象（数字、图形、向量、集合等）的集合可以有多大或多小，前提是它必须满足某些限制。许多极度组合学涉及集合的类，称为极度集合论。极度组合学中对相交问题的研究可能可以追溯到 1938 年，当年埃尔德什、柯召和 Richard Rado 证明了关于一个有限集的-元子集的交集祖的最大可能大小的“埃尔德什-柯召-Rado定理”。从那以后，大量类似结果被证明。除了本身就是自然问题之外，交集问题还与组合数学的许多其他部分和理论计算机科学（以及数学的许多其他部分）有关。这篇调查论文讨论了交叉问题领域的新旧结果（以及新旧方法）。许多有趣的开放性问题仍然存在。该调查旨在对博士生以及更成熟的研究人员有用。

具有均匀磁场的球面上的二体问题

Two body problem on a sphere in the presence of a uniform magnetic field
https://arxiv.org/abs/2101.07170

本文研究一个和两个带电非相对论粒子在强度均匀的磁场存在下在球体上的运动。对于一个粒子，运动始终是圆形的，并且由速度和运动半径之间的简单关系决定。对于通过余切势相互作用的两个相同粒子，我们显示有两个相对平衡族，称为 I 型和 II 型。I 型相对平衡适用于所有磁场强度，而 II 型只有在磁场足够强时才存在。如果粒子质量相等但电荷相反，情况也是如此。我们还确定了两个相对平衡族的稳定性。

用信息论方法探讨物理领域的发现

An Information Theory Approach to Physical Domain Discovery
https://arxiv.org/abs/2107.09511

物理的发现往往相当于找到一个物理系统的最简洁的描述。对物理系统生成的数据集具有最佳预测能力的描述是一种最大限度地减少数据集的预测误差和描述复杂性的描述。因此，系统的支配物理学的发现可以被视为一个数学优化问题。本文概述了一种通过最小化系统描述的熵来优化任意复杂物理系统描述的方法。递归域分区 (RDP) 过程找到每个物理域到子域的最佳分区，以及每个子域内的最佳预测函数。

偏微分方程神经网络解的误差估计

Error Estimates for Neural Network Solutions of Partial Differential Equations
https://arxiv.org/abs/2107.11035

本文为偏微分方程的神经网络近似开发了一个误差估计估计。所提出的方法基于双加权残差估计器 (DWR)。它保证解决方案的准确性，独立于神经网络训练的设计。结果以拉普拉斯和斯托克斯问题的计算示例。

数学怀疑论的代价

The Price of Mathematical Scepticism
https://arxiv.org/abs/2107.12925

我们认为，那些怀疑选择公理或连续统假设的二价性的人也应该怀疑三阶算术的一致性。

赔率问题的动态规划和线性规划

Dynamic Programming and Linear Programming for Odds Problem
https://arxiv.org/abs/2107.13146

本文讨论了 Bruss 在 2000 年提出的赔率问题及其变体。称为动态规划 (DP) 方程的递推关系用于找到赔率问题及其变体的最佳停止策略。2013 年，Buchbinder、Jain 和 Singh 提出了一种线性规划 (LP) 公式，用于寻找经典秘书问题的最优停止策略，这是赔率问题的一个特例。所提出的线性规划问题可以最大化获胜的概率，这与长期已知的 DP 方程不同。本文表明，普通 DP 方程是对线性规划的对偶问题的修改，包括 Buchbinder、Jain 和 Singh 提出的 LP 公式。

全局稳定性理论和隐性振荡理论的诞生

The birth of the global stability theory and the theory of hidden oscillations
https://arxiv.org/abs/2107.13889

动力学模型全局分析的第一个数学问题可以追溯到瓦特调速器设计的工程问题。工程要求和相应的数学问题导致了全局稳定性理论的基本发现。参数空间中全局稳定性的边界受到振荡的产生的限制。来自不稳定平衡的振荡激发很容易分析，而与平衡无关的振荡的揭示是隐藏振荡理论中正在研究的一项具有挑战性的任务。在这项调查中，讨论了第一个全局稳定性标准的发展简史和相应的带有隐藏振荡的反例。

二十位女数学家

Twenty Female Mathematicians
https://arxiv.org/abs/1910.01730

我猜想读者应该知道她们中的一部分，但不是全部。她们是：索菲亚·科瓦列夫斯卡娅、艾美·诺特、玛丽·卡特赖特、朱莉娅·罗宾逊、奥尔加·拉德珍斯卡、伊冯娜·乔奎特-布鲁哈特、奥尔加·奥莱尼克、夏洛特·费舍尔、凯伦·乌伦贝克、克里斯蒂娜·库珀伯格、妮可·汤姆扎克-贾格曼、杜莎·麦克杜夫、卡伦·沃格特、勒弗朗斯 施奈普斯、克莱尔·瓦辛、奥尔加·霍尔茨、玛丽亚姆·米尔扎哈尼和玛丽娜·维亚佐夫斯卡。

一维离散加权哈代不等式

Discrete weighted Hardy Inequality in 1-D
https://arxiv.org/abs/2108.01500

本文证明了当 时，上面的不等式成立，并得到 的精确值。

欧内斯特·温伯格

Ernest Borisovich Vinberg
https://arxiv.org/abs/2108.02544

本文是对2020年去世的俄国数学家欧内斯特·温伯格的介绍，讨论了他对数学各个领域的贡献，例如黎曼和罗巴切夫斯基几何、齐次凸锥、李群和不变理论、等变辛几何和泊松结构。相关阅读：https://en.wikipedia.org/wiki/Ernest_Vinberg

水果丢番图方程

Fruit Diophantine Equation
https://arxiv.org/abs/2108.02640

本文证明丢番图方程 没有整数解。作为推论，本文证明魏尔斯特拉斯方程 没有整数解。

评估正序列的总和

Evaluating the sum of positive series
https://arxiv.org/abs/2108.06480

本文提供了可能最好地评估正序列总和的数值程序。本文的程序基于 Kummer 测试的通用版本的应用。

带边界的平均曲率流

Mean Curvature Flow with Boundary
https://arxiv.org/abs/1901.03008

本文提出了一个由平均曲率流驱动的边界移动的曲面理论。特别是，通过椭圆正则化证明了一般存在定理，并在非常温和的假设下证明了所有正时间的边界正则性。相关阅读：https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-02/S0273-0979-2015-01468-0/S0273-0979-2015-01468-0.pdf

一个人能听到矩阵吗？从光谱数据中恢复实对称矩阵

Can one hear a matrix? Recovering a real symmetric matrix from its spectral data
https://arxiv.org/abs/2106.01819

实数对称 矩阵的谱决定了矩阵的酉等价。需要更多的频谱数据和一些符号指示符来消除单一的歧义。在这项工作的第一部分中，我们指定了对一般矩阵进行唯一重建所需的频谱和符号信息。第二部分仅限于光谱数据量超过未知矩阵项数的带状矩阵。

几何教育理论构建：12-15岁学生课程设计与实施

Theory Building in Geometry Education: Designing and implementing a course for 12-15 year old students
https://arxiv.org/abs/2108.07393

这是一部数学教育的博士论文。如果我们希望数学教育对每个人都有价值，包括那些不从事与数学相关职业的人，我们需要将数学作为某些思维方式的训练场。本论文侧重于数学思维的一个方面，即理论构建。它由三个部分组成 - 解开理论构建的内容，开发以理论构建为目标的课程，以及对印度两所学校 12 至 15 岁学生实施该课程的定性描述。

弹性波动方程的逐点收敛

Pointwise convergence for the elastic wave equation
https://arxiv.org/abs/2108.08475

本文研究了弹性波动方程的解在索伯列夫空间中的初始数据的逐点收敛。作者证明，每当初始规则性大于1/2时，该解几乎处处都沿每一条线收敛到初始数据，并且几乎是最佳的。

丢番图方程：一种系统方法

Diophantine equations: a systematic approach
https://arxiv.org/abs/2108.08705

通过将计算机辅助与人类推理相结合，本文已经解决了所有大小最多为 28 的多项式丢番图方程的希尔伯特第十个问题，其中大小在 (Zidane, 2018) 中定义。此外，本文已经解决了所有大小最多为 31 的二变量丢番图方程、所有大小最多为 36 的对称方程和所有大小最多为 45 的三单项式方程的问题。

组合子从何而来？寻找摩西·申芬克尔的故事

Where Did Combinators Come From? Hunting the Story of Moses Schönfinkel
https://arxiv.org/abs/2108.08707

组合子是数理逻辑发展和通用计算概念出现的关键思想。它们是 1920年12月7日由摩西·申芬克尔 (Moses Schönfinkel) 提出的。本文是对申芬克尔的个人故事和知识背景的探索。

使用递归序列解决平铺问题的简单方法

A Simple Approach to the Tiling Problem Using Recursive Sequence
https://arxiv.org/abs/2108.08909

这是一篇中学生的建模论文。我推荐给国内的中学老师和学生。平铺问题一直是许多数学问题中出现的著名问题。它的许多解决方案都植根于高级数学。因此，作者希望使用更基本的数学概念来解决这个问题。在本报告中，我们从最简单的情况开始，使用较小的数字：使用 多米诺牌拼贴 、、 矩形板的方法数，其中行数是固定的 我们提出了一个基于 和更早项的递归公式。

本科工程数学课程男生成绩不佳：原因及解决对策

Male Under-performance in Undergraduate Engineering Mathematical Courses: Causes and Solution Strategy
https://arxiv.org/abs/1907.00552

在整个工程数学课程中，女性在学业上的表现优于男性的趋势越来越明显。为了证实这一假设，作者考虑了阿联酋当地大学工程学所有领域的微积分课程学生的两个独立样本的最终分数。双样本 t 检验表明两种性别之间的表现存在显着差异。因此，设计了一项调查来确定可能产生这种情况的因素。调查分析发现，课外学习时间是导致性别表现差异的统计显着因素。基于这些结果，我们提出了可以由教师应用的即时短期解决方案来解决这个问题。本研究主张需要在微观层面进行持续研究，以确定基于性别的学生表现差异。这样的研究可以帮助立即干预，从而缩小这种差距。

学习再生核希尔伯特空间中的偏微分方程

Learning Partial Differential Equations in Reproducing Kernel Hilbert Spaces
https://arxiv.org/abs/2108.11580

作者提出了一种新的数据驱动方法，用于学习给定输入输出函数样本对的各种线性偏微分方程的基本解（即格林函数）。

第九行星的轨道

The orbit of Planet Nine
https://arxiv.org/abs/2108.09868

海王星是被数学算出来的。办法是一样的：如果它存在，那么它对其他行星会有引力。因此，如果似乎有什么东西在牵引行星，只需做一些数学计算即可找到源头。现在科学家们又要故伎重演了。但现在现有行星都似乎没有受到未知的引力。人们看到的是外太阳系中被称为柯伊伯带天体的小冰天体的奇怪聚集。

新经济地理学中简单数学模型在连续空间中的推广

Extension of a simple mathematical model in new economic geography to continuous space
https://arxiv.org/abs/2108.12217

本文考虑 Pflüger (2004) 和 Gasper (2018) 等人提出的一个在新经济地理学到连续空间，并从数学上研究其解的行为数学模型的扩展。该模型是一个描述市场均衡和人口密度空间分布的时间演化的非线性积分和微分方程系统。