人教版 | 初二春 · 正方形综合

李仙儿课堂开课啦

跟着李仙儿 数学飞天

李仙儿寄语：

分久必合合久必分

正方形的出现意味着

四边形的大家族走向了统一

你学过关于四边形的一切方法

在正方形中都可以适用哦

偷偷说一句

前方有“巨大巨大巨大”的福利出没！

快快往下看看！

1.正方形的性质与判定

【知识点一】正方形的定义

1.定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形

【知识点二】正方形的性质

❀性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质；

性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等；

性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角；

性质3：正方形有4条对称轴，两条对角线所在直线和过两组对边中点的两条直线；

另外，由正方形的性质可以得出：

（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．

（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．

【知识点三】正方形的判定

判定：

判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：

（1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直．

（2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等

2.正方形的重要模型

【知识点一】弦图模型（三垂直模型）

❀必备大招：

图中四块三角形均为全等；（一般会用到其中的两个全等）

见到斜直角构造三垂直模型；（常见辅助线添加如下）

★典例放送：

（2021春·海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（-2，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　）

A. 34                 B.25

C.20                  D.16

【知识点二】十字架模型

❀必备大招：

正方形中存在十字交叉垂直，则必然出现交叉线段相等；

例如：GH=EF，AH=EF；

上述结论可以通过添加适当的辅助线来构造全等证明，如图

★典例放送：

（2020春·婺城区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段GH的长是

【知识点三】手拉手模型

❀必备大招：

相等边+相等边+公共角得旋转型全等三角形△ABG≌△ACE；

八字模型倒角即可得出BG⊥CE；

★典例放送：

（2020秋·秦都区期末）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝√3，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④S△COF＝3，其中正确的个数为（　　）

A．1个                B．2个

C．3个                D．4个

【知识点四】对角互补四边形模型

❀必备大招：

（1）正方形对角线成90度角，出现双90度构造对角互补四边形，则过正方形的中心点分别向两边作垂直，构造旋转型全等；（如图，△MPA≌△PQB）

（2）该模型常和三垂直模型结合解题；

★典例放送：

（2019春·闽侯县期末）如图1，在平面直角坐标系中，放置一个边长为5的正方形ABCD，人使得它的两个顶点B和A恰好落在x轴正半轴和y轴正半轴上，M为正方形的中心．

（1）若点B和点A在x轴和y轴上滑动，求证：在这个运动过程中，M始终在第一象限的角平分线上．

（2）若点A运动到（0，3），求此时M点的坐标．

【知识点五】旋转90°半角模型

如图，在正方形ABCD中∠FAE=45°

❀必备大招：

1.EF=BE+DF ，2. △CEF的周长 = 1/2正方形ABCD周长

★结论延伸：

（1）AE、AF为角平分线

（2）GH²=BH²+DG²

证明方法：将BE和DF放在同一条直线上，故将△ABE或者△ADF进行90°旋转，构造新全等(△AMF≌△AEF≌△AEN）

END

今天的推文里

一共有四道典例放送

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