八上第十讲 18图化繁为简，再谈等腰三角形分割

写在前面

在上一讲《八上第九讲 关于等腰三角形分割的探究》中，我们主要研究了等腰三角形的分割问题．但是在写完之余，参考了其他同行的文章，以及同事的讲法，自我感觉还是太过繁琐，尤其是在设x求解时，并未做最优化的选择．因此，这一讲，用尽可能最简洁的方法再写一遍，以图为主，希望对同学们有帮助．

一．分割等腰三角形

例1

过等腰三角形的顶点作一条直线，若分割成的两个较小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的顶角度数．

分析

1）从顶角顶点A分割．

为了计算简便，可设未被分割的底角为x．

共九种情况，由于AB≠AD，AD≠AC，故舍去其中的五种，剩下四种可能．列表如下：

1) AD=BD

2) AB=BD

我们若注意到一个很重要的结论，即“底角不能为直角和钝角”，可减少讨论次数．即∠ADB只能为锐角，∠ADC为钝角，要使△ADC为等腰三角形，只能使AD＝DC．

分析

2）从底角顶点B分割．

为了计算简便，可设未被分割的顶角为x．

也是九种情况，由于AB≠AD，BD≠DC（此时D与A重合），故舍去其中的五种，剩下四种可能．列表如下：

1) AD=BD

2）AB＝BD

我们依旧不能忘掉刚才的重要结论“底角不能为直角和钝角”，则∠ADB为锐角，∠BDC为钝角，要使△BDC为等腰三角形，只能使BD＝DC．而这在之前即已排除，所以不用考虑．

二．分割不等边三角形

例2

如果过一个不等边三角形顶点A的直线可以将△ABC分割成2个等腰三角形，试探究原三角形中两个角之间的最简数量关系．

分析与解答

显然，我们可以只考虑从过其中一个顶点A分割，这里不存在要舍去的情况，故九种可能都要讨论．

为了计算简便，我们可以设其中被分割出的等腰三角形中的最小底角为x．

（1）AB＝AD

不能忘掉刚才的重要结论“底角不能为直角和钝角”，则∠ADB为锐角，∠ADC为钝角，要使△ADC为等腰三角形，只能使AD＝DC．

分析与解答

（2）AD＝BD

三种情况皆需讨论．

分析与解答

（3）AB＝BD

不能忘掉刚才的重要结论“底角不能为直角和钝角”，则∠ADB为锐角，∠ADC为钝角，要使△ADC为等腰三角形，只能使AD＝DC．

综上，我们可以发现，只需满足3种情况：

1、是直角三角形．

2、有一角是另一角的2倍．

3、有一角是另一角的3倍．

三．任意不等边三角形如何分割？

我们知道了可以分割的条件，还需知道

如何分割？

从哪个角分割？

能从最小的角分割吗？

假设三角形中最小角为x，x有什么范围？

因此，探究还未结束．

问与答

1）

问：能从最小角分割吗？

答：不能．如图，设∠ACB为最小角，则∠2＜∠1＋∠B，即∠2＜∠ADC，又因为∠2＜∠A，所以△ADC不是等腰三角形，不符题意．

问与答

2）

问：三种情况各从哪个角分割？最小角的范围是多少？

答：

1、是直角三角形．

显然，从直角顶点分割，作斜边上的中线．

2、有一角是另一角的2倍．

以上例子存在有∠B＝2∠C，或∠C＝2∠B，但都是从第三个角∠BAC分割的，这是为什么呢？

我们可以举反例证明，不妨以∠B＝2∠C为例，

如上图，若从∠ABC处分割，则要使△BAD为等腰三角形，∠BAD只能为x或2x，此时，△ABC为等腰三角形，不符题意，所以不能．

要求最小角的范围，∠C必须小于第三角∠BAC．

∠BAC＝180－3x，

x＜180－3x，

x＜45．

问与答

3、有一角是另一角的3倍．

以上例子存在有∠BAC＝3∠B，或∠BAC＝3∠C，恰好都是从∠BAC分割的，这是为什么呢？我们也可以举反例证明，不妨以∠BAC＝3∠B为例

如图，若从∠ACB处分割，则要使△CAD为等腰三角形，∠ACD只能为2x或3x，当∠ACD＝2x，此时，△ABC又为等腰三角形，当∠ACD＝3x，此时，△ABC又为直角三角形，均不符题意，所以都不能．

要求最小角的范围，∠C必须小于第三角∠BCA．

∠BCA＝180－4x，

x＜180－4x，

x＜36．

小结：

综上，对于任意的不等边三角形，要分割成2个等腰三角形，需满足以下要求：

1）不能从最小的角分割．

2）若是直角三角形，从直角顶点分割，作斜边上的中线．

3）若有一角是另一角的2倍，且最小角小于45°，从第三角分割．

4）若有一角是另一角的3倍，且最小角小于36°，从这个3倍角分割．

附：第九讲思考题答案

（2014·无锡）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画_______条．

END