科学破案，神探福尔摩斯遇到最难的数学问题——自行车轨迹线

在伦敦一个下雪天，夏洛克·福尔摩斯躺在床上，眼睛盯着天花板，他的脑子在快速运转，试图破案。没过多久，华生医生来敲门了，并向他描述了一起极为离奇的谋杀案。夏洛克一开始并没有注意华生说的话。然而，当华生告诉他罪犯逃跑时骑自行车留下的痕迹时，夏洛克突然转向他说：“现在我们何不去看看那些轨迹呢？”当他们到达现场时，夏洛克的脸上挂着微笑。那是因为他也不知道轨迹通向哪里。

夏洛克回到家中竭力地寻找那些奇怪的轨迹。有两种不同类型的轨道属于两种不同类型的轮胎。一个肯定是前胎的，另一个是后台的。然后他意识到，他需要弄清楚哪一个轮胎的哪一种轨迹，才能辨别出罪犯走的方向。

• 一辆自行车留下两种不同的轨道，属于两种不同类型的轮胎。一个必须属于
  前胎
  ，另一个属于后台。
夏洛克一回到家，就从他的藏书中挑选了几本满是灰尘的旧书。他认为，他从图书馆中挑选的数学著作可以帮助他深入了解这个他认为与几何和微积分有关的问题。几个小时后，他就开始认真研究微分曲线这一课题，这一课题还没有进入数学文献，因为他面前的谜团完全与微分曲线有关。
没过多久，夏洛克就发现轮胎印表明两种不同类型的轮胎并不是相互独立的。根据自行车的设计，前轮和后轮总是以固定的距离相互串联，并相互配合移动。即便如此，这在实践中是如何实现的呢？

• 自行车的轮胎是相互独立的。由于自行车的设计，前后轮总是以固定的距离相互串联，并相互配合移动。
想到这里，夏洛克的目光转到了他的怀表上，那是他早些时候进屋时从口袋里拿出放在桌上的。当他朝两个方向移动手表上的链条时，手表就会顺着链条的路径越走越近，但始终无法到达它所在的位置。

• 当你向任意方向移动表链时，手表会沿着表链的路径不断靠近表链，但始终无法到达表链所在的位置。
在数学中，手表所遵循的轨迹被称为轨迹线。而曲线接近但从未接触的那条看不见的水平线叫做渐近线。
牛顿在1676年发现了轨迹线公式，夏洛克由此知道了这个结果不是随机的，而是遵循了一个绝对的规律。

夏洛克所学的微积分知识经常涉及到微分几何中切线的概念。这就是为什么夏洛克从轨迹上随机选择一个点，然后画一条切线到所谓的渐近线。就在那时，他偶然发现了一件令人着迷的事情。他怀表上的表链的长度和切线的长度是一样的，这不仅仅是巧合。更重要的是，即使我们画另一条从轨迹线到渐近线的随机切线，这也是成立的。

• 从轨迹顶点到渐近线的距离，以及从轨迹上任意一点到渐近线的任何切线的长度，都是相等的。
这种巧合变得明显起来。这是因为自行车的行为就像怀表和它的链条，因为自行车的轮胎总是朝着同一个方向移动。后轮的运动始终跟随前轮的运动，并且始终与前轮保持一定的距离。同样值得注意的是，前轮可以拉，也可以推。
这时夏洛克注意到了一个有趣的细节。牵引车有两个支路，当自行车在特定的点上移动时，后轮在其中一个支路上行驶，它就会切换到另一个支路上。此外，当他要画一条从轨迹上的点到渐近线的切线时，他惊喜地发现，这条切线的长度等于两个轮胎在地面上的接触点（本质上是轴距）之间的距离。从轨迹上的任意一点到渐近线的任何切线都具有相同的长度。

• 轴距是前轮和后轮中心之间的水平距离
当然，在现实世界中，自行车的轮胎不会以完全垂直和水平的方式移动。骑自行车的人会自然地将前轮向左或向右移动，这样就会留下不同但独特的痕迹。
根据夏洛克的观察，当有人引导前轮胎进行周期性振荡时，后轮胎表现得很好，但振幅较小。因此，无论自行车是否存在，都可以判断哪一组轨道属于自行车轮胎，因为振幅较小的轮胎必须属于后轮。


• 振幅较小的轮胎应该属于后轮

就在那时，夏洛克意识到他就快破案了。他现在知道哪一个轨迹是属于哪个轮胎的了。那么，自行车往哪个方向走了呢？他怎么能看出这一点呢？他记得几个世纪前牛顿的笔记。

从后轮的轮胎轨迹中随机选择几个点，并在一个特定的方向上画出与前轮相切的切线，所有的切线都必须相同的长度。这就表明自行车沿着切线的方向行驶。然而，如果切线的长度不等，这就意味着自行车的方向与从后轮到前轮的切线相反。

然而，一个意想不到的问题突然出现在他的脑海里！如果两个方向的切线长度相等呢？这种事可能吗？根据牛顿的理论，这是一种数学上的可能性。

如果有人有足够的技术把自行车转成一个完美的圆圈，那么自行车就会在地上留下两个完美的圆圈。当然，两个圆中较小的那一个无疑属于后胎。然而，因为这个圆是完美对称的，所以不可能区分自行车是顺时针还是逆时针旋转。

夏洛克脸上挂着微笑。因为他现在知道了那辆自行车的去向，甚至懒得去辨认凶手的身份了。
总之，如果我们在地面上遇到自行车轨迹，试着辨别自行车行驶的方向会是一种令人耳目一新的脑力锻炼。首先，你需要计算出后轮。然后你需要画出从后轮到前轮的切线，确保它们都在同一个方向上。如果得到的切线长度相等，恭喜你，你已经算出了自行车行驶的方向。

• 画切线以确定自行车的方向。
当你在现实世界中应用这个方法时，你可能会注意到后轮并不总是精确地跟随轨迹线。这是因为自行车并不总是有相同的轴距。自行车有很多种，有些是为了比赛，有些是为了休闲。这导致了它们的框架设计的差异。
设计师们通常在放置自行车前叉和车轴时非常小心和精确地考虑到它的角度。设计上最微小的变化都可能导致自行车在转弯或倾斜时的连续性和轴距的明显差异。
尽管像这样简单的数学模型常常忽略了现实世界的因素和考虑，但它们仍然为我们提供了更深入地了解这些原理是如何工作的。